МК Играем по-новому процесс изготовления настольной игры «Четыре в ряд»

Изготовление шкатулки в виде рояля

Я давно собирался сделать шкатулку-рояль, и, наконец-то, дело дошло и до неё. Я покажу вам весь процесс её изготовления. Чертёж был взят в интернете из журнала «Scroll-Saw-Woodworking-and-Crafts-2022-Issue-48». Выпиливал на электролобзике Proxxon. Размеры: длина 23 см, ширина 15 см, высота 12 см, глубина 3 см

Для изготовления шкатулки я использовал следующие материалы:

Саграда — играем в настольную игру.

  • дерево (берёза);
  • МДФ 6мм;
  • фурнитура (петли);
  • белый грунт;
  • лак.

Первый шаг моей работы начинался с распечатки чертежа шкатулки и наклейки на дерево (крышка и дно у шкатулки из МДФ):

Следующее что я сделал, выпилил основание шкатулки, крышку и дно, тщательно всё шлифуем:

ПРОБУЮ НА СЕБЕ НАСТОЛЬНЫЕ ИГРЫ �� БАБИЧ ПРОБУЕТ

Затем я склеил дно к основанию шкатулки (клей Момент СТОЛЯР):

CRYO играем в настольную игру с Hobby World | стрим Geek Media

Тщательно подгоняю фурнитуру на крышке шкатулки:

Потом я выпилил ножки, колонку лиры, педальные лапки (делал из зубочисток). Всё приклеил к штульраме:

ЧЕТЫРЕ ХВОСТА + ГРЕМУЧАЯ ПАРА | ИГРАЕМ В НАСТОЛЬНУЮ ИГРУ НА ТРОИХ

Выпиливаю и подгоняю клавиатуру, потом на неё будет клеится картинка имитирующая клавиши:

ЗВЁЗДНЫЕ ВОЙНЫ: ВОССТАНИЕ | РАССВЕТ ИМПЕРИИ — Играем в настольную игру с дополнением!

Дальше я сделал держатель для крышки шкатулки и приклеил всё к основанию:

Всё красится в белый грунт, лакируется. Получается рояль-шкатулка:

Создаем деревянную ракушку «Наутилус»

Сегодня вашему вниманию у меня мастер-класс по изготовлению ракушки из дерева.
И природе хорошо — не нужно уничтожать живое существо,и дом можно украсить любимыми формами.
Мало кто из любителей настоящих морских раковин знает,что для того,что бы получить пустую красивую раковину, Наутилуса нужно сварить живьем.

Талисман. 4 редакция | Играем | Настольный беспредел

Для изготовления ракушки нам понадобятся:

• дерево с красивой структурой;
• циркулярная пила;
• лобзик;
• термоклей;
• пенопласт;
• скотч;
• масло тиковое;
• клей.

КАРМАННЫЕ ИНТРИГИ: Играем в настольную игру! | Недорогие настольные игры (ПРОМОКОД ВНУТРИ!)

Первым делом выбираем дерево с красивой структурой. У меня под рукой оказалась лиственница.

Размер брусков —10х10 см. А толщина — 3.3 см. Бруски я распилил вдоль на две части, под углом 15 градусов.Что бы облегчить задачу,бруски приклеил с помощью термоклея,к бруску дерева,одна сторона которого отпилена на 15 градусов.

Итак,мы имеем 10 кусков,из которых надо выбрать 5,с наиболее подходящей друг к другу структурой.И прономеровать их.

ВО ЧТО ПОИГРАТЬ С ДЕТЬМИ? Настольная игра «ЧЕТЫРЕ ХВОСТА»: ОБЗОР

Для той формы Наутилуса,который я задумал,детали надо выпиливать,под определенным углом.Поэтому далее, к этим брускам,был приклеен пенопласт,с помощью двухстороннего скотча.

Первая деталь ракушки,произвольной формы напоминающей подкову,которая будет выпилена лобзиком,довольно мелкая — 5 мм,в высоту.Начинать надо с бруска,под номером 1.

ГУННЫ: Играем в красивую настольную игру про быт кочевников! | Играем на 4 игрока

Этот выпиленный кусочек необходимо отделить от пенопласта,и приложив ко второму бруску обвести карандашом.

Настольная игра «ЧЕТЫРЕ ХВОСТА»: ИГРАЕМ + ПРАВИЛА! // Let’s play «4 tails» board game

И так шаг за шагом,предыдущий на следующем.Выпиленная деталь с пятого буска обрисовывается на первом.И так далее.

СПАРТАК: Играем в настольную игру | Полная партия | 4 игрока (18+)

Когда все детали будут выпилены,перед склейкой их надо отшлифовать,чтобы не получилось щелей при склеивании.

Эволюция. Новый Мир — ИГРАЕМ!

Склеивать надо частями,для того чтобы легче было отшлифовать внутреннюю полость раковины.

САМАЯ БОЛЬШАЯ НАПОЛЬНАЯ ИГРА В МИРЕ ! ПОБЕДИВШИЙ ПОЛУЧИТ $10,000 !

Когда все детали будут склеены,ракушку нужно тщательно отшлифовать снаружи.

Готовую ракушку надо несколько раз покрыть маслом.Я использовал Тиковое масло.

По этому же принципу,я сделал и следующую ракушку.

Настольные игры для детей «ЧЕТЫРЕ ХВОСТА»: ИГРАЕМ ПО КОМАНДАМ! // Let’s play «4 tails» board game

Учебник Геометрия 10 класс Билянина

n/з Я = 2sin30° = а. Простейшим многоугольником является треугольник. И любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. На рисунке 1.16, а изображена окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, г = ОМ — радиус. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис и находится внутри треугольника. Поскольку площадь треугольника находят по формуле Яд = рг, где р — полупериметр треугольника, то отсюда Ял г = _ _ (р — а)(р — Ь)(р — с) где а, Ь, с — стороны треуголь- Р V Р пика. Центр окружности, вписанной в треугольник, равноудален от его сторон. В В Рис. 1.16 Можно ли в любой четырехугольник вписать окружность? Ответ. Нельзя. В четырехугольник можно вписать окружность только при условии, что суммы длин его противоположных сторон равны. 19 МОДУЛЬ 1 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ. Вокруг произвольного треугольника можно описать окружность, притом только одну (см. рис. 1.16, б). Центр окружности, описанной вокруг треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к его сторонам. Центр окружности О, описанной вокруг треугольника АВС, равноудален от его вершин. На рисунке 1.16, б изображена окружность с центром О, описанная вокруг треугольника АВС, R = ОА — ее радиус. Если радиус описанной окружности R, стороны треугольника, вписанного в окружность, а,Ь,с,ир- полупериметр треугольника, то д _ оЬс _ аЬс 4S 4jp(p-a)(p-b)(p-c)’ Можно ли описать окружность вокруг произвольного четырехугольника? Ответ. Нельзя. Вокруг четырехугольника можно описать окружность только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180°. Треугольник и его элементы Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, которые попарно соединяют эти точки. Рассмотрим ААВС (рис. 1.17), в котором выделяют шесть основных элементов: три внутренних угла а, Р, у и три соответственно противолежащие им стороны а, Ь, с. Треугольник называется тупоуголь-Рис. 1.17 ным, прямоугольным или остроуголь- ным, если его наибольший внутренний угол соответственно больше, равен или меньше 90°. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны (боковые стороны). Основанием равнобедренного треугольника является сторона, которая не равна ни одной из двух других равных сторон. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним, или правильным. Соотношение между сторонами и углами треугольника: — против большей стороны лежит больший угол, и наоборот; — против равных сторон лежат равные углы; а Ь с — теорема синусов:—-=——=——; sin Л sin В sin С о о р — теорема косинусов: с =а +6 — 2a&cos С (квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними). 20 § 1.2. Опорные факты курса планиметрии В ‘Греугольник можно определить любой тройкой таких основных элементов: либо двумя сторонами и углом между ними, либо одной стороной и двумя углами, либо тремя сторонами. Например, ААВС со сторонами а, Ь, с можно задать так: 1) а, 6 и С; 6, с и А; а, с и В; 3)а,Ьис. 2) а, В и С; Ь, А и С; с, А и В; Соотношение между внутренними и внешними углами треугольника: любой внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Из трех отрезков можно образовать треугольник тогда и только тогда, когда любая его сторона меньше суммы и больше разности двух других его сторон. В любом треугольнике можно провести три медианы, три биссектрисы и три высоты. Свойства биссектрисы угла треугольника: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая лежит в середине треугольника и является центром вписанной в него окружности. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам (рис. 1.18; BL — биссектриса, AL : ЬС = АВ : ВС). Основные свойства медиан треугольника: 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая лежит в середине треугольника. 2. Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в соотношении 2 : 1 (считая от вершин треугольника). 3. Медиана делит треугольник на два треугольника, площади которых равны (рис. 1.18; ВК — медиана, = Sд^fзp). 4. Три медианы треугольника делят треугольник на шесть треугольников, площади которых равны. Прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника, которая может находиться во внутренней или внешней области треугольника. Высоты треугольника, проведенные к его сторонам а, h и с, обозначаются Л^, и соответственно. Высота треугольника Лд определяется через его стороны по формуле: U 2Jp(p — о)(р -Ь)(р- с) 1 Лд = —-i, где р = -(а -г 6 и- с). (I tu Медиана треугольника т^, проведенная к стороне а, определяется через стороны треугольника по формуле: т = —у12Ь^ + 2с^ — а^. “ 2 21 МОДУЛЬ 1 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ. В каждом треугольнике можно построить три средние линии — отрезки, соединяющие середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине. Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник, площадь которого относится к площади основного треугольника как 1:4. Свойства равнобедренного треугольника: углы при основании треугольника равны; высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Свойства равностороннего треугольника: все углы равны (каждый угол равен 60°); каждая из трех высот является также биссектрисой и медианой; центр окружности, описанной вокруг треугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в него. Прямоугольный треугольник имеет сторону, которая лежит против прямого угла, — гипотенузу (с) и две стороны, образу-^ ющие прямой угол, — катеты (а и Ь) (рис. 1.19). Стороны прямоугольного треугольника а, Ь и с (с — гипотенуза) связаны между собой соотношением, называемым теоремой Пифагора: В с^ = а^ + Ь^. Читается так: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Свойства прямоугольного треугольника: 1. Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: Ь^=Ь, — с н а^ = а^ — с (рис. 1.19). 2. Высота, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу: h^ = b^- а^. 3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. 4. Для сторон прямоугольного треугольника справедливы отношения: sin А = Запомните! СВ АВ’ cos А = АС АВ’ а 30° 45° 60° sina 1 2 2 s 2 cosa V3 2 V2 2 1 2 Указание для лучшего запоминания: 1. Запишите черты дробей для каждого значения выражения sin а и cos а со знаменателями 2. 2. Запишите в числителях: 1, 2, 3 для sin а (3, 2, 1 для cosa). 3. Допишите знак радикала для каждого числителя дроби. Учитывая то, что = 1, получаем заполненную таблицу 22 § 1.2. Опорные факты курса планиметрии Выпуклые четырехугольники Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом (рис. 1.20). Свойства параллелограмма: 1. Середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии. 2. Противоположные стороны параллелограмма равны. 3. Противоположные углы параллелограмма равны. 4. Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. 5. Диагонали параллелограмма де—чятся точкой пересечения пополам. 6. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма (dj и d^) равна сумме квадратов всех его сторон: df + d| = 2(0^ -ь Ь^). Чтобы доказать, что некоторый заданный четырехугольник является параллелограммом, следует, согласно определению, убедиться в параллельности его противоположных сторон. Иногда такие рассуждения являются громоздкими, а иногда -излишними. Существуют другие доказанные признаки, на основании которых можно утверждать, что данный четырехугольник является действительно параллелограммом. Если в четырехугольнике исполняется любое из таких условий: 1) противоположные стороны попарно равны; 2) две противоположные стороны равны и параллельны; 3) противоположные углы попарно равны; 4) диагонали в точке пересечения делятся пополам, — то такой четырехугольник является параллелограммом. Прямоугольник — это параллелограмм, в котором все углы равны. Поскольку сумма углов четырехугольника равна 180°(4 — 2) = 360°, то в прямоугольнике все углы прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма. Кроме того, он имеет еще одно свойство: диагонали прямоугольника равны. Для прямоугольника справедлива и обратная теорема: если у параллелограмма диагонали равны, то он — прямоугольник. :)та теорема является признаком прямоугольника. Ромб — это параллелограмм, в котором все стороны равны. Кроме общих свойств параллелограмма, ромб имеет и другие, характерные только для него. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Справедлива и обратная теорема, которая является признаком ромба: если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны или если в нем диагонали делят углы пополам, то такой параллелограмм — ромб. 23 МОДУЛЬ 1 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ. Квадрат — это параллелограмм, в котором все углы равны и все стороны равны. Таким образом, квадрат — это прямоугольник с равными сторонами или квадрат — это ромб с равными углами (прямыми). Очевидно, что квадрат имеет все свойства прямоугольника и ромба. Трапеция — это четырехугольник, в котором только две противоположные стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции, две другие стороны — боковыми сторонами. Если боковые стороны трапеции равны между собой, такую трапецию называют равнобокой (рис. 1.21; АВ = CD). Равнобокая трапеция имеет такие свойства’. 1. Углы, прилежащие к основанию равнобокой трапеции, равны. Справедливо и обратное утверждение: если углы, прилежащие к основанию трапеции, равны, то такая трапеция равнобокая. 2. Диагонали равнобокой трапеции равны. 3. Сумма противоположных углов равнобокой трапеции равна 180°. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией (рис. 1.21; MN — средняя линия, AM = МВ, CN = ND). Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна тугу 1 л П их полусумме (рис. 1.21; MN || AD, MN || ВС, MN =—-). 24 Упражнения § 1.2. Опорные факты курса планиметрии ■ A) Z1 = Z3; Б) Z2 + Z3= 180°; B) Z1 = Z2 = 90°; Г) Z2 + Z4 = 260°; Д) Z3 = 90°. 1.20°. При пересечении прямых а и Ь образовалось четыре угла (рис. 1.22, а). Задайте каждому из условий (А-Д) возможное следствие (1-5). 1) Z3 = Z4 = 90°; 2) Z1 =Z2 = Z4 = 90°; 3) Z1 я Z4 — смежные; 4) Z1 и Z3- острые; 5) Z2 и Z4 — вертикальные. 1.21°. Условиями (1-7) указана градусная мера некоторых углов. Выберите среди них те, которые могут быть смежными. 1)18°; 2)72°; 3)128°; 4)62°; 5)28°; 6)108°; 7)38°. А) 1 и 2; Б) 2 и 6; В)3и4; Г) 1 и 7; Д) 2 и 5. 1.22°. Укажите правильный вывод, если известно, что Z1 = Z 7 (рис. 1.22, б). А) а II 5; Б) а 15; В) а П Ь. А Б В Г Рис. 1.22 1.23°°. Найдите градусную меру Z3 (рис. 1.23), если CD || АВ, Z1 =Z2 и Z2=72°. А) 72°; Б) 144°; В) 108°; Г) 36° Д) 124°. 1.24°. Найдите градусную меру внешнего угла KMN треугольника KMZ (рис. 1.24). А) 135°; В) 108°; Д) 45°. Б) 125°; Г) 117°; 1.25°. Найдите градусную меру угла между биссектрисой угла при вершине равнобедренного треугольника и его боковой стороной, если углы треугольника АВС относятся как 3:4:3. А) 18°; Б) 36°; В) 72°; Г) 60°; Д)30°. Рис. 1.24 25 МОДУЛЬ 1 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ и ОБОБЩЕНИЕ. 1.26°. Определите правильные равенства (рис. 1.25). А) ДАВО = AOCZ); В) ВА = CD; Д) ZBAO = ZDCO; Б) ААОВ = ACOD; Г) ZAOB = ZDOC; Е) ZBAO = ZCDO. 1.27°. Найдите углы треугольника ВОС (рис. 1.26). А) 48°, 48°, 84°; В) 24°, 132°, 24°; Д) 48°, 132°, 20°. Б) 132°, 48°, 48°; Г) 42°, 90°, 48°; 1.28°. Идентифицируйте каждому шестиугольнику периметра Р (А-Д) окружность радиуса R, описанную вокруг него (1-5). А)Р = 42см; 1)Д = 2см; 2) Д = 8см; 3) Д = 6см; 4) Д= 14 см; 5) Д = 7 см. Б) Р = 12 см; В)Р = 84 см; Г)Р = 48 см; Д) Р = 36 см. А Б В Г д 1.29°. Вычислите периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей с радиусами 6 см, 7 см и 8 см, которые попарно касаются извне (рис. 1.27). А) 28 см; Б) 29 см; В) 27 см; Г) 42 см; Д)21см. D В Рис. 1.27 Рис. 1.26 1.30°. Выберите выражения, которыми определяются радиус вписанной окружности в правильный треугольник со стороной а и радиус описанной вокруг него окружности: (I’M аМ 04 в’/з ■ 1) ..а сч on/2 4)—; 5)—-. 2 2 6 3 2 А)1и2; Б)2иЗ; В)3и4; Г)4и5; Д)1и5. 1.31°. Найдите диаметр окружности, если прямая а является касательной к ней, А — точка касания, ОВ = 12 см и образует с касательной угол 30° (рис. 1.28). А) 24 см; Б) 12 см; В) 6 см; Г) 18 см; Д) 4 см. 1.32°. Сторона квадрата равна 20М см. Укажите длину радиуса окружности, вписанной в этот квадрат. 26 § 1.2. Опорные факты курса планиметрии А) 20 см; Б)10\/2см; В) 10 см; Г)5\/2см; Д)5см. 1.33°. Одно из оснований трапеции на 8 см больше другого, а средняя линия трапеции равна 10 см. Найдите меньшее основание трапеции. А) 2 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 8 см; Д)10см. 1.34°. Вычислите площадь ромба, диагонали которого равны 10 см и 36 см. А) 90 см^; Б) 92 см^; В) 180 см^; Г) 184 см^; Д) 360 см^. 1.35°°. Найдите угол между прямыми а и б, если прямые т и п параллельны (рис. 1.29). А) 50°; Б) 80°; В) 100°; Г) 65°; Д) 115°. 1.36°°. Определите длины радиусов двух окружностей, которые касаются извне, если расстояние между их центрами 18 см, а длина одного из радиусов составляет 50 % длины другого. А) 9 см и 6 см; В) 12 см и 6 см; Д) 24 см и 12 см. Б) 10 см и 8 см; Г) 14 см и 4 см; 1.37°°. Укажите выражение, которое определяет длину окружности, ограничивающей круг площадью 9л см^. А)3лсм; Б) 9л см; В) 12л см; Г) 18л см; Д)6лсм. 1.38°°. Найдите площадь круга, вписанного в квадрат со стороной 6 см. А)9лсм^; Б)144лсм^; В)36лсм^; Г)72лсм^; Д)18лсм^. 1.39°°. Найдите площадь треугольника (рис. 1.30) (длины отрезков приведены в сантиметрах). А) 6 см2; Б) 9 см2; В) 12 см2; Г) 24 см2; Д) 30 см2. 1.40°°. Определите периметр равнобедренного треугольника, если точка касания вписанной в него окружности делит его боковую сторону на отрезки 6 см и 5 см. Выберите правильную комбинацию возможных ответов. 1)21 см; 2) 32 см; 3)23 см; 4) 34 см; 5) 33 см. А) 1 или 2; Б) 2 или 4; В) 2 или 3; Г) 3 или 5; Д) 4 или 5. В 27 МОДУЛЬ 1 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ. 1.41°°. Найдите сторону ВС треугольника АВС, вписанного в окружность радиуса R (рис. 1.31). А)Д; Б)^^; В) лТЗ; Г) лТЗ; Д) 2 2 1.42°°. Идентифицируйте парами сторону правильного треугольника а и радиус г вписанной в него окружности. A) а = 18 см; Б) а = 9ч/3 см; B) а = 30 см; Г)а = 24 см; Д)а = 15ч/3см. 1) г = 4\/з см; 2) г = 7,5 см; 3) г = 4,5 см; 4) г = зТз см; 5) г = 5\/з см; А Б В Г Д 1.43°°. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 5 см. Найдите диагональ квадрата. А)^см; B)5n^cm; В)^см; Г)10ч/2см; Д)2073см. 2 4 1.44°°. На рисунке 1.32 изображены два g треугольника АВС и CDM, стороны которых -АВ и MD — параллельны. Найдите длину отрезка AD, если MD = — АВ, CD = 1,5 см. 3 А) 3 см; В) 6 см; Д)9см. Б) 4,5 см; Г) 7,5 см; 1.45°°. Укажите количество сторон правильного многоугольника, внутренний угол которого равен 160°. А) 12; Б) 14; В) 16; Г) 18; Д) 20. 1.46°°. Найдите периметр ромба, диагонали которого равны 24 см и 18 см. А) 120 см; Б) 60 см; В) 84 см; Г) 108 см; Д) 144 см. 1.47°°. Известно, что периметр параллелограмма равен 48 см, а одна из его сторон на 8 см длиннее другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. А) 8 см; Б) 16 см; В) 6 см; Г) 12 см; Д)10см. 1.48°°. Вне равнобедренного треугольника АВС построили два равных угла АВМ и СВК, стороны которых пересекли продолжения основания АС соответственно в точках М к К. Докажите равенство треугольников МВС и КВА (рис. 1.33, а). 28 § 1.2. Опорные факты курса планиметрии 1.49°°. Из точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды длиной 5 см и 12 см. Найдите расстояние между их концами. 1.50″. Определите взаимное расположение прямых АВ и CD по данным рисунка 1.33, б. Ответ обоснуйте. В А В ^ Рис. 1.33 Рис. 1.34 1.51*. В треугольник АВС вписана окружность (рис. 1.34), точки касания которой MviZ делят две его стороны АВ и АС на отрезки, разность которых соответственно равна 3 см и 4 см (ДМ > МВ, AZ > ZC). Найдите стороны треугольника АВС, если его периметр равен 28 см. 1.52*. Вокруг равностороннего треугольника описана окружность, радиус которой равен 3\^ см. Вычислите радиус вписанной окружности. 1.53*. Вокруг окружности описана равнобокая трапеция, угол при основании которой равен 30°. Высота трапеции — 7 см. Найдите длину средней линии трапеции. 1.54*. Вокруг окружности описана равнобокая трапеция, угол при основании которой равен 150°. Средняя линия трапеции равна 16\/з см. Найдите длину высоты трапеции. 1.55*. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, основание которого равно 16 см, а высота, проведенная к ней, — 15 см. 1.56*. Высота AM треугольника АВС делит его сторону ВС на отрезки ВМ и МС. Найдите длину отрезка МС, если ДВ = 10\/2 см, АВ = 26 см, ZB = 45°. 1.57*. Сторона ромба равна 10 см, а одна из его диагоналей -1 2 см. Найдите радиус вписанной в ромб окружности. 1.58*. В окружности радиуса 15 см на расстоянии 12 см от его центра проведена хорда. Найдите длину этой хорды. 1.59*. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его сторону на отрезки 6 см и 10 см, считая от вершины острого угла. Вычислите площадь параллелограмма, если его острый угол равен 60°. 1.60**. В окружности проведены две пересекающиеся хорды. Одна из них точкой пересечения делится пополам, а вторая — на части длиной 5 см и 20 см. Найдите длину каждой хорды. 29 МОДУЛЬ 1 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ. 1.61**. Из ТОЧКИ вне окружности проведены секущая и касательная. Найдите длину касательной, если она на 5 см больше внешней части и на столько же меньше внутренней части секущей. 1.62**. Из точки вне окружности проведены секущая и касательная, сумма длин которых равна 15 см, а внешняя часть секущей на 2 см меньше касательной. Найдите длины секущей и касательной. 1.63**. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 6 см и 9 см. 1.64**. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 8 см, а меньшая боковая сторона — 6>/з см. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 120°. 1.65**. Вокруг трапеции, основания которой равны 40 см и 14 см, а высота — 39 см, описана окружность. Найдите ее радиус. 1.66**. 1) Диагонали трапеции равны 20 см и 15 см, высота -12 см. Вычислите площадь трапеции. 2) Диагонали трапеции равны 30 см и 26 см, высота — 24 см. Вычислите площадь трапеции. 1.67**. Большая диагональ рюмба равна 24 см, а радиус вписанной окружности — 6 см. Вычислите площадь ромба. 1.68**. Стороны треугольника равны 17 см, 25 см и 28 см. Окружность с центром на большей стороне касается двух других сторон. Вычислите площадь круга. 1.69**. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 6 см и 4 см, а угол между диагоналями составляет 60°. Задачи и методы их решения Для геометрии закономерным является то, что введенные основные понятия и сформулированная аксиоматика составляют основу для новых утверждений. Однако справедливость последних необходимо доказывать путем определенных рассуждений, основывающихся на ранее доказанных утверждениях или аксиомах. Так формируются математические задачи. Что такое математическая задача? Существуют разные определения этого понятия, например: математическая задача — это любое требование вычислить, построить, доказать, исследовать что-либо, или вопрос, равносильный такому требованию. В каждой задаче что-то дано (условие) и что-то нужно доказать или найти (требование, вывод). Выполнить поставленное 30 § 1.3. Задачи и методы их решения ■гробование — и означает решить задачу. Отметим, что если истинность какого-либо, часто используемого математического утверждения установлена путем рассуждения (доказательства), то такое утверждение называют теоремой. Можно ли утверждать, что для успешного решения геометрических задач и доказательства теорем достаточно свободно владеть всем теоретическим материалом? Нет. Это не так. При хорошем знании теории следует овладеть еще и практическими навыками. А это возможно только в процессе решения задач, начиная с простейших и постепенно переходя к более сложным. Математические задачи условно разделены на четыре вида, в соответствии с их требованиями: задачи на вычисление, доказательство, исследование и построение. С ними вы уже ознакомились в курсе планиметрии. Приступая к решению задачи, следует выбрать метод. Методы делят: а) по структуре — синтетический, аналитический, от противного и др.; б) по использованию математического аппарата — алгебраический, векторный, координатный, метод площадей, метод геометрических преобразований и др. Суть синтетического метода заключается в том, что, исходя из условия задачи или теоремы с использованием известных утверждений строится цепочка логических рассуждений, последнее из которых совпадает с требованием задачи. Приведем пример. Задача 1 Биссектриса угла прямоугольника делит большую сторону на два отрезка -7 см и 9 см. Найдите периметр этого прямоугольника. Дано: ABCD — прямоугольник; АК — биссектриса, К € ВС; ВК = 7 см, КС = 9 см (или ВК = 9 см, КС = 7 см). Найти: Рдзсп- D Решение Почему именно так? АК — биссектриса прямо- Пусть по условию АК — зато угла BAD, ВС || AD, АК — i данная биссектриса. Точка К секущая, поэтому Z1 = Z2 разбивает отрезок ВС на два как внутренние разносто- отрезка ВК и КС. Далее, учи-ронние. тывая параллельность проти- воположных сторон прямо- 31 МОДУЛЬ 1 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ. АК — биссектриса, следовательно, Z2 = Z3. Таким образом, /.1 = Z3. В ААВК: Z1 = Z3, следовательно, ААВК — равнобедренный и АВ = ВК. 1. Если ВК = 7 см, КС = 9 см, то АВ = ВК = 7 см и ВС = 16 см. Pabcd = (7 + 16) • 2 = 46 (см). 2. Если ВК = 9 см, КС = 7 см, то АВ = ВК = 9 см и ВС = 16 см. Pabcd = (9 + 16) • 2 = 50 (см). Ответ. 46 см или 50 см. угольника и их пересечение секущей <АК - биссектриса), устанавливаем равность двух углов треугольника. Это определяет вид треугольника -равнобедренный, а значит, равность двух сторон. Т.е. АВ = ВК. Если ВК = 7 см, то АВ -= 7 см, ВС = 7 + 9 = 16 (см); периметр: Р = (7+ 16)-2 = 46 (см). Если ВК = 9 см, то АВ = = 9 см, ВС = 7 -I- 9 = 16 (см); периметр: Р = (9 -f 16) • 2 = 50 (см). Таким образом, периметр прямоугольника может быть 46 см или 50 см. Эта задача является опорной, поскольку на такой идее строятся многие задачи и для параллелограмма, и для трапеции. У этих фигур биссектриса угла отсекает всегда равнобедренный треугольник. Отметим, что сокращенное обозначение углов в виде Z1, Z2, . упрощает запись и экономит время, поэтому в таких случаях им пользоваться удобнее. Как видим, в процессе решения задачи 1 используются только известные геометрические утверждения и производятся соответствующие вычисления. Причем для каждой геометрической задачи такие рассуждения свои. Суть аналитического метода состоит в том, что, исходя из требования (вывода) утверждения (теоремы или задачи) и опираясь на известное утверждение, строится цепочка логических рассуждений, которая показывает, что требование является следствием условия. Приведем пример. Задача 2 Докажите, что середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Дано: ABCD - четырехугольник; К е АВ, АК = КВ; ЬеВС, BL = LC; QeCD, CQ = QD; Ре AD, AP = PD. Доказать: KLQP - параллелограмм. В С 32 § 1.3. Задачи и методы их решения Доказательство KLQP - заданный четырехугольник. К, L, Q, Р — середины соответствующих сторон. АС и BD - диагонали четырехугольника ABCD. В ААВС: KL - средняя линия, следовательно, KL II АС. В ДАОС: PQ - средняя линия, следовательно, PQ II АС. Имеем: 1. KL || АС и АС II PQ, следовательно, KL II PQ (по признаку параллельных прямых). 2. Аналогично КР || LQ как средний линии треугольников АВ£) и С. Итак, в четырехугольнике KLQP противоположные стороны параллельны, следовательно, он - параллелограмм, согласно признаку параллелограмма. Что и требовалось доказать (ч.т.д.). Почему именно так? Требование задачи: доказать. Это означает, что истинность утверждения следует подтвердить цепочкой рассуждений. Чтобы четырехугольник KLQP был параллелограммом, достаточно показать, что его противоположные стороны параллельны. Для этого заданный I четырехугольник разбиваем на j два треугольника одной диаго-! налью, а потом - второй. Сред-: ние линии одной пары треуголь-I ников параллельны диагонали I АС, а второй пары - BD. (Отре-■ зок, соединяющий середины [ двух сторон, является средней 1 линией треугольника, которая I имеет свойство: параллельна ; третьей стороне треугольника.) Отсюда, средние линии каждой j пары треугольников параллель-I ны между собой. Таким образом, I получаем, что в четырехуголь-1 нике KLQP противоположные ! стороны параллельны, следова-j тельно, он - параллелограмм. Отметим: доказательство того, что четырехугольник, вершины которого являются серединами произвольного выпуклого четырехугольника, - параллелограмм, можно проводить и другими методами. Синтетический и аналитический методы называют также прямыми методами решения математических задач. Чтобы решить задачу прямым методом, следует начать с анализа содержания задачи, от которого зависит выбор метода решения. Далее необходимо создать модель в виде рисунка и продолжить рассуждать над каждым действием, которые в совокупности образуют цепочку действий, ведущих либо от условия к требованию, либо от требования к условию. Суть метода доказательства от противного состоит в том, что, имея утверждение, строим новое, возразив выводу данного. Формулируется утверждение. Исходя из вывода про- 3-Geometri|a, ЮМ (Bilianina), ms 33 МОДУЛЬ 1 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ. тивоположного утверждения, строим цепочку истинных утверждений, пока не получим утверждение, которое противоречит либо условию, либо известной аксиоме или теореме, либо предположению. Таким образом приходим к выводу, что противоположное утверждение ошибочно, а потому исходное является истинным (тут действует логический закон: из двух противоположных утверждений одно истинное, другое ошибочное, третьего не дано). Рассмотрим пример. >— Задача 3 Докажите утверждение: если две прямые параллельны третьей, то они па- S_________________ раллельны между собой. Строим противоположное утверждение: существуют две прямые, параллельные третьей и не параллельные между собой. Доказательство От противного. Предположим, что а \\ с, Ь II с, но а 1 Ь. Тогда аГ\ Ь= А. Получили утверждение, которое противоречит аксиоме параллельности: через точку А на плоскости проходят две различные прямые, параллельные третьей. Следовательно, противоположное утверждение ошибочно, поэтому исходное утверждение — истинное. Т.е. две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу. Ч.т.д. Почему именно так? Исходим из вывода нового утверждения: пусть прямые а и Ь, параллельные третьей прямой с, не параллельны между собой. Тогда они пересекаются в некоторой точке А. Получили, что через точку проходят две различные прямые, параллельные третьей. Это противоречит аксиоме параллельности. Пришли к противоречию. Последнее утверждение ошибочно, следовательно, исходное утверждение — истинное. Математическую задачу считают решенной, если: 1) записан ответ в виде числа, выражения, указан алгоритм построения рисунка, если это задача на вычисление, построение или исследование; 2) подтверждено сформулированное в задаче утверждение, если это задача на доказательство. Метод от противного называют непрямым методом решения математических задач. Рассмотрим некоторые другие методы решения геометрических задач, которые делят на виды по использованию математического аппарата. 34 § 1.3. Задачи и методы их решения Алгебраический метод решения задач Решая задачу алгебраическим методом, следует уделить ниимание таким этапам: 1. Моделирование текста задачи с помощью рисунка (в боль-тинстве случаев). 2. Введение обозначений искомых величин или тех, которые приводят к искомым (чаще всего буквами латинского алфавита). 3. Составление уравнения или системы уравнений с использованием введенных определений и известных геометрических соотношений между искомыми и данными величинами. 4. Решение составленного уравнения или системы уравнений. Возврат к введенным обозначениям и определение иско-M1.IX геометрических величин. По необходимости, выполнение исследования найденных решений. 5. Запись ответа. Задачи, в которых задана зависимость между двумя измерениями, сводятся к решению уравнения. Например, одна из сторон параллелограмма на 3 см длиннее другой, а периметр -30 см. Нужно найти длины сторон параллелограмма. Тогда, введя переменную х как длину стороны этого параллелограмма, имеем длину второй стороны <х - 3). Учитывая определение периметра параллелограмма и его известное значение, получаем уравнение: (х-Ьх-З) 2 = 30. Приведем другие примеры решения задач алгебраическим методом. Задача 4 Периметр прямоугольного треугольника равен 36 см. Гипотенуза относится к катету как 5:3. Найдите стороны треугольника. Дано: ДАСВ (ZC = 90°); Рд = 36 см; АВ:АС = 5:3. Найти: АВ, АС и ВС. В Решение Обозначим коэффициент пропорциональности через к. Тогда AB = 5k,aAC = Sk. АВ2=АС2 + ВС2, 25*2 ^ 9^j2 + Почему именно так? Рд = 36 см - единственное линейное измерение, с которым связаны стороны треугольника. Гипотенуза _ 5 Катет 3 35 МОДУЛЬ 1 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ. ВС = л/25А^ - = 4* (ВОО, А>0). Рд = АВ + АС + ВС, или 5/г + ЗА + 4/г = 36, 12А = 36, А = 3. АВ = 5 3 = 15(см), АС = 3 -3 = 9 (см), ВС = 4 3 = 12(см). Ответ. 15 см, 9 см и 12 см. „ АВ Ь Ък Пусть = — = —, АС 3 Зк отсюда АВ = = 5А, АС = Зк. Рд = АВ + АС + ВС. Определить сторону ВС можно по теореме Пи-фагора^_АВ^^_^^ + ВС^, отсюда ВС = \1аВ^-АС’\ вс > о, вс = 4А. Метод решения — алгебраический, поскольку используется математическая модель — уравнение 5А-f ЗА + 4А = 36. Задача 5 В параллелограмме диагонали равны 16 см и 20 см. Меньшая из них перпендикулярна к его стороне. Найдите площадь этого параллелограмма. Дано: ABCD — параллелограмм; ZA> ZB, АС 0), X = 6. = 6 СМ ■ 16 СМ = 96 см2. Ответ. 96 см2. систему уравнений. Одно уравнение можно получить по вышеуказанной формуле, а второе — исходя из того, что диагональ параллелограмма перпендикулярна, имеем прямоугольный треугольник с двумя неизвестными сторонами (они же и стороны параллелограмма). Отметим, что, принимая во внимание требование задачи, можно не искать обе стороны параллелограмма, а только, например, сторону АВ. Метод площадей Если условие задачи содержит данные, по которым легко найти площадь одним из способов, то это делают в первую очередь. С помощью другого способа для вычисления площади этой самой фигуры делают второй шаг — составляют уравнение, в котором одно из линейных измерений неизвестно. Приравнивая площади, получают уравнение с одним неизвестным. Задача 6 Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Вычислите высоту, проведенную к стороне, которая имеет длину 14 см. Решение Пусть а, Ь, с — стороны некоторого ААВС, причем а = 13 см, Ь = 14 см, с = -15 см. а /21-8-7-6 = Почему именно так? Имея три стороны треугольника а, Ь, с, можно найти его площадь по формуле Герона: 5д = yjpip-a)(p-b) 0, с > 0. По условию АС = BD. Выразим расстояние между точками А и С, В и D через их координаты: АС = yjia + b-Of +(c-0f, BD = yjia-bf + (0 — cf. Тогда \j(a + b- 0)^ + (c — 0)^ = ^(a — b)^ + (0 — c)^, или (a + ft — 0)^ + (c — 0)^ = (a — ft)^ + (0 — cf’, отсюда 4aft = 0. Поскольку a > 0, TO ft = 0, a это означает, что точка B(ft; с) лежит на оси Оу. Поэтому угол BAD прямой. Отсюда следует, что параллелограмм ABCZ) — прямоугольник. Метод геометрических преобразований: метод поворота, метод симметрии, метод параллельного переноса, метод гомотетии. Решая задачи методом геометрических преобразований, наряду с данными фигурами рассматривают новые, полученные из данных с помощью определенного преобразования. Выясняют свойства новых фигур, переносят эти свойства на данные фигуры, а затем находят способ решения задачи. Говорят, что задачи, решенные методами векторов, координат, геометрических преобразований, площадей и другими методами, в которых используется больше свойств геометрических фигур, решены геометрическими методами. 41 МОДУЛЬ 1 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ. Упражнения fe- 1.70°. Периметр параллелограмма АБС£> равен 20 см, сторона АВ = 5 см. Найдите длину другой стороны параллелограмма. Выберите уравнение, которое является моделью данной задачи. А) л:+ 5 = 20; В)Зл: + 5 = 20; Д)2д: + 5 = 10. Б)2х + 5 = 20; Г)(л: + 5) • 2 = 20; 1.71°. Периметр параллелограмма со сторонами а см и 5 см равен 50 см. Найдите стороны параллелограмма. Идентифицируйте каждому условию алгебраическое уравнение, которое может быть моделью полученной задачи. A) а : 5 = 2 : 3; Б) а > Ь на 3 см; B) а > Ь в 2 раза; Г) а 1 Д)-. 1.76°. В прямоугольнике (рис. 1.37), диагональ которого равна 13 см, обозначены точки М, N, К и L — середины его сторон. Выберите геометрические утверждения, необходимые для нахождения периметра четырехугольника MNKL. 1) Определение прямоугольника; 2) свойства прямоугольника; 3) свойства прямоугольного треугольника; 4) определение треугольника; 5) определение средней линии треугольника; 6) свойства средней линии треугольника; 7) признаки параллельности прямых. А) 1,2, 4 и 7; Б)2, 4, 5и7; В) 2, 5 и 6; Г) 3, 5 и 6; Д) 3, б и 7. М D Рис. 1.38 1.77°°. Найдите радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника со стороной 24 см. А)4\/2см; В) 12 см; Д)8л/3см. Б)12>УЗ см; Г)1272 см; 1.78°°. Вычислите площадь параллелограмма, две стороны которого равны 9 см и 5^/2 см, а угол между ними — 45°. A)45n/2cm^; В)45см^; Д)1572см^. Б) 22,5^/2 см2; Г)22,5см2; 1.79°°. Выберите три последовательности правильного нахождения площади равнобокой трапеции ABCZ) (рис. 1.38). 1) Использование аксиомы измерения отрезков; 2) нахождение сторон полученного треугольника; 3) доказательство равенства двух образованных треугольников; 4) установление вида четырехугольника; 5) использование свойств четырехугольника BCLK. А)1,4, 5, 2иЗ; В) 5, 4, 3, 1 и 2; Д)4, 5, 2, Зи1. Б)2,3,4, 5и1; Г)3, 2, 4, 5и1; 43 МОДУЛЬ 1 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ. 1.80°°. Найдите радиус вписанной в ромб окружности, если диагонали ромба равны 6 см и 8 см. А) 4,8 см; Б) 3,6 см; В) 2,4 см; Г) 1,8 см; Д) 1,2 см. 1.81*. В треугольнике АБС проведен параллельно АС отрезок DE (D е АВ, Е е ВС). Найдите сторону АВ треугольника АВС, если известно, что DE = 4 см, DB = б см, АС = 10 см. 1.82*. Высоты параллелограмма равны 8 см и 12 см, а угол между ними — 60°. Найдите площадь параллелограмма. 1.83*. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведенная к нему, — 5 см. Найдите гипотенузу треугольника. 1.84*. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 30 см, а радиус описанной вокруг него окружности — 17 см. Вычислите площадь данного треугольника. 1.85**. Стороны треугольника равны 29 см, 25 см и 6 см. Найдите длину высоты треугольника, проведенной к наименьшей стороне. 1.86**. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 24 см и 51 см. 1.87**. В треугольнике одна сторона равна 24 см, медиана, проведенная к ней, — 14 см, а разность двух других сторон -8 см. Вычислите периметр треугольника. 1.88**. В треугольнике две стороны и медиана, проведенная из вершины угла, образованного ими, соответственно равны 14 см, 22 см и 14 см. Вычислите периметр треугольника. 1.89**. В треугольнике АВС проведены медианы AAj, BB^, CCj. Докажите, что AAj + BBj + CCj = 0. 1.90**. Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба. (Используйте различные методы решения.) 1.91**. В квадрат вписана окружность радиуса R. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до сторон квадрата постоянна и равна 6Д^. (Используйте различные методы решения.) Д ИЗ ЛЕТОПИС ЮМЕГРИД Геометрия — одна из древнейших математических наук. Первые геометрические факты отображены в вавилонских клинописных таблицах, египетских папирусах и других источниках VI-III в. до н.э. 44 Из летописи геометрии Название науки «геометрия» происходит от двух древнегреческих слов: «geo» (гео) — земля и «metreo» (метрео) — измерение. В развитии геометрии выделяют четыре основных периода. Первый период — зарождение геометрии как науки — протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до V в. до н.э. Именно тогда ученые установили первые общие закономерности в природе и воспроизвели их в зависимостях между геометрическими величинами. Основной проблемой геометров того периода было вычисление некоторых площадей и объемов. Логических обоснований в задачах было очень мало. В основном геометрические свойства доказывались практическими наблюдениями, поиском закономерностей, экспериментальным путем, т.е. эмпирически. Второй период — формирование геометрии в структурную систему. В VII в. до н.э. центром развития геометрии стала Греция. Древние геометры работали над систематизацией накопленных и новых знаний, устанавливали связи между геометрическими фактами, разрабатывали приемы доказательств. Значительный вклад в развитие математики, в частности геометрии, в этот период сделали Пифагор, Платон, Аристотель, Фалес, Анаксигор, Демокрит, Евклид. В книге «Начала» Евклида сформулированы понятия о фигуре, о геометрическом утверждении и доказательстве. Они остаются актуальными и сегодня. Третий период — дополнение геометрии новыми методами -начался в первой половине XVII в., когда французский ученый Рене Декарт разработал метод координат, связавший евклидову геометрию с ачгеброй и математическим анализом. Использование методов этих наук в геометрии дало возможность создать новые науки — аналитическую, а позднее — дифференциальную геометрию, проективную и начертательную геометрию. Таким образом, евклидова геометрия поднялась на качественно новую ступень по сравнению с геометрией древних: в ней рассматривались гораздо более общие фигуры и использовались новые методы. Четвертый период — создание неевклидовой геометрии — связан с именем российского ученого Николая Ивановича Лобачевского, открывшего в 1826 г. возможности для создания неевклидовых геометрий. Им была построена совершенно новая, неевклидова геометрия, которую теперь называют геометрией Лобачевского. Особенность начатого Н.И. Лобачевским периода в истории геометрии состоит в том, что после его открытия начали развиваться новые геометрические теории, новые «геометрии» и соответствующие обобщения самого предмета геометрии. В этот период возникло понятие о разновидностях пространства (термин 45 МОДУЛЬ 1 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ. «пространство» в науке может означать как обычное реальное пространство, так и абстрактное, «математическое», пространство). Некоторые теории создавались внутри евклидовой геометрии, как ее особые разделы, а позднее приобретали статус самостоятельных. Другие, подобно геометрии Лобачевского, вводили изменения аксиом и структурировались на основе этих изменений, обобщая и строя науку. Именно так была создана геометрия Римана (Георг Фридрих Бернхард Риман (1826-1866) — немецкий ученый) и ее обобщения (1854-1866), получившие применение в теории относительности, механике и др. В школьном курсе мы изучаем геометрию Евклида. Перевел труд древнегреческого ученого «Начала» украинский математик Михаил Егорович Ващенко-Захарченко (1825-1912) в 1880 г. На основе этой книги написано множество учебников по геометрии. Например, преподавание геометрии в советской школе почти до 1982 г. осуществлялось по учебнику российского педагога-математика А.П. Киселева (1852-1940). В 1980-х годах украинским математиком А.В. Погореловым было создано новое учебное пособие. Его и сегодня можно найти в библиотеках общеобразовательных учебных заведений. Современная геометрия является многовекторной и стремительно развивается в совокупностях математических теорий, изучающих различные пространства и их фигуры. Значительный вклад в геометрию сделали и наши соотечественники: М.В. Остроградский, А.М. Астряб, А.П. Киселев, А.Д. Александров, А.Н. Колмогоров, А.В. Погорелов и др. Вопросы для самоконтроля 1. Какие фигуры на плоскости являются основными? 2. Какие понятия являются определяемыми, а какие — неопределяемыми? 3. Что такое аксиома; теорема? 4. Каковы основные свойства принадлежности точек и прямых? 5. Какой отрезок принадлежит полуплоскости? 6. Каковы основные свойства взаимного расположения точек на прямой; на плоскости? 7. Каковы основные свойства измерения отрезков; углов? 8. Каковы основные свойства откладывания отрезков; углов? 9. Какое свойство имеют параллельные прямые? 10. Каково структурное построение планиметрии? 46 Вопросы для самоконтроля 11. В каком случае три точки плоскости будут расположены на одной прямой? 12. Что такое определение? Приведите примеры определений. 13. Как могут быть расположены три точки на плоскости? 14. Какие прямые называются параллельными; перпендикулярными? 15. Как определить угол между пересекающимися прямыми? 16. Какие углы называются смежными; вертикальными? 17. Какое свойство имеют смежные углы; вертикальные? 18. Как доказывают параллельность прямых? 19. Как могут быть расположены окружность и прямая? 20. Какие свойства имеет касательная к окружности? 21. Какие многоугольники называются плоскими? 22. Какие углы называются вписанными в окружность? 23. Какова зависимость между вписанным и центральным углами? 24. Как найти центр окружности, вписанной в треугольник и описанной вокруг него? 25. Какие общие формулы связывают сторону правильного л-угольника с радиусом вписанной окружности? 26. Какие общие формулы связывают сторону правильного л-угольника с радиусом описанной окружности? 27. Каково свойство перпендикуляра, проведенного через середину хорды окружности? 28. Какова зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике? 29. Какое свойство имеет медиана треугольника? 30. Каковы свойства биссектрисы угла треугольника? 31. Как по тройке элементов треугольника, среди которых один линейный, можно его решить? 32. Какие теоремы помогают при решении треугольника? 33. Как определить вид четырехугольника? 34. Как проверить, что данный четырехугольник является параллелограммом; прямоугольником; ромбом; квадратом; трапецией? 35. Какие условия определяют существование треугольника? 36. Какие многоугольники являются равными, а какие — подобными? 37. Какие формулы можно использовать для нахождения площади параллелограмма; прямоугольника; ромба; квадрата; трапеции? 38. Какие методы решения задач вы знаете? 39. Как решить геометрическую задачу алгебраическим методом? 47 МОДУЛЬ 1 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ. Тест для самоконтроля • Часть 1 Задания 1—16 содержат варианты ответов, из которых правильным является только один или конкретное количество. Выберите правильный ответ. 1°. Определите величины углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, если один из них равен 26°. А) 64°, 116°, 64°; В) 26°, 116°, 116°; Д) 141°, 52°, 141°. Б) 126°, 64°, 126°; Г) 26°, 154°, 154°; 2°. Укажите рисунок, по данным которого можно сделать вывод, что прямые а и 5 параллельны. ли АС и BD, пересекаясь в точке О, образуют ZAOB = 84° (рис. 1.39). Найдите величину ZOBC. А) 21°; В) 48°; Д) 63°. Б) 42°; Г) 24°; 4°. Найдите площадь квадрата, вокруг которого описана окружность радиуса R. А) ^/2 см^; В) 2R^ см^; Д) 4Д^ см^ Б)Д^см2; Г)2Д^ч/2см2; 2 D 48 Тест для самоконтроля 5°. Найдите площадь трапеции, средняя линия которой раина 12 см, а высота — 6 см. А) 144 см2; Б) 18 см2; в) 54 см2; р) 36 см2; Д) 72 см2. 6°. Вычислите периметр равнобедренного треугольника, если окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит его боковую сторону на отрезки длиной 4 см и 5 см, считая от основания. А) 23 см; Б) 22 см; В) 26 см; Г) 27 см; Д)28см. 7°. Острый угол прямоугольной трапеции в 5 раз меньше ее тупого угла. Найдите величину тупого угла. А) 120°; Б) 135°; В) 144°; Г) 150°; Д) 160°. 8°. Найдите соотношение углов, которые образованы касательной, проведенной через точку С некоторой окружности, и двумя хордами СВ и СА, если известно, что АВ — диаметр и ZCOB = 36° (рис. 1.40). А) 1 : 5; Б) 1 : 6; В) 1 : 7; Г) 1 : 4; Д) 1 : 2. 9°°. Периметр квадрата равен 20\f2 см. Определите радиус окружности, описанной вокруг квадрата. А) 2,5 см; Б) 4 см; В) 5 см; Г) 10 см; Д)20см. 10°°. Найдите разность углов р и а, если известно, что хорда АВ = В, где R — радиус окружности (рис. 1.41). А) 30°; Б) 45°; В) 60°; Г) 90°; Д) 120°. 11°°. Радиус окружности, описанной вокруг квадрата, равен 8\[2 см. Вычислите периметр квадрата. А) 32 см; Б)32\/2см; В) 16 см; Г) 64 см; Д)16\/2см. 12°°. Найдите площадь заштрихованной части фигуры (рис. 1.42). А) (2зт — 2) см2; В) (8-2л) см2; Д) (4-2л) см2. Б) (2 — 2л) см2; р) (2л — 8) см2; Рис. 1.40 4-Geometiiia. 10 к! (Btljanina). rus 49 МОДУЛЬ 1 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ. 13°°. Определите градусную меру угла х (рис. 1.43). А) 120°; В) 75°; Д) 45°. Б) 60°; Г) 105°; 14°°. В окружности, радиус которой ра- Рис. 1.43 вен 13 см, проведена хорда длиной 24 см. Найдите расстояние от центра окружности до данной хорды. А) 10 см; В) 13 см; Д) 1 см. Б)12 см; Г)5 см; 15°°. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 см, а один из катетов — 16 см. А) 96 см2; Б) 120 см2; В) 160 см2; г) 192 см2; д) 240 см2. 16°°. Вычислите площадь треугольника, две стороны которого равны 6\/2 см и 8 см, а угол между ними — 45°. А) 48 см2; Б) 24 см2; В) 96 см2; Г) 12 см2; Д) 12^2 см2. • Часть 2 Выполните задания 17—28 с краткой записью хода рас-суждений. 17*. Найдите процентное соотношение большего из смежных углов к меньшему, если сумма трех углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 240°. 18*. Найдите сумму двух острых углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них в 3 раза больше другого. 19*. Из точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды длиной 8 см и 15 см. Найдите радиус окружности. 20*. Из точки окружности проведены две хорды, образующие угол 30°. Найдите длину отрезка, соединяющего их концы, если радиус окружности равен 5 см. 21*. Хорда длиной 8 см отдалена от центра окружности на 4 см. Найдите длину окружности. 22*. Сторона правильного шестиугольника равна 6\/з см. Найдите радиус окружности, вписанной в шестиугольник. 23*. Боковые стороны трапеции, описанной вокруг окружности, относятся как 7 : 9, а средняя линия равна 32 см. Найдите боковые стороны трапеции. 24*. В окружность радиуса 4 см вписана трапеция, диагональ которой является биссектрисой острого угла и образует с меньшим основанием угол 30°. Найдите высоту трапеции. 50 Тест для самоконтроля 25*. Известно, что два отрезка АС и IU) пересекаются в точке О, причем АО = OD, СО = ВО, BD = 20 см, CD = 14 см (|)ис. 1.44). Найдите периметр треугольника АОВ. D 26*. В треугольнике АВС ZA = 45°, ZB = 60°, ВС = 3%/б см. Найдите длину стороны АС. 27*. Диагонали ромба относятся как 5 :12, а его площадь равна 120 см^. Найдите периметр ромба. 28*. Высота BD треугольника АВС делит его сторону АС на отрезки AD и CD. Найдите длину отрезка CD, если АВ = 2\/з см, ВС = 5 см, ZA = 60°. • Часть 3 Выполните задания 29—32 с полным обоснованием. 29**. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 26 см, а высота, опущенная на основу, — 10 см. Определите радиусы окружностей, вписанной в треугольник и описанной вокруг него. 30**. Биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки в отношении 5 : 12. Вычислите периметр треугольника, если медиана, проведенная к гипотенузе, равна 26 см. 31**. Две стороны треугольника равны 3 см и 5 см, а медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, — 3,5 см. Найдите угол треугольника, ограниченного данными сторонами. 32**. Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 12 см, а боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию. Найдите площадь трапеции. 51 » i ■’5йё;*Ж’’ Аксиомы обладают ‘ наивысшеи степенью общности и представляют начало всего. Аристотель ► Основные понятия стереометрии ► Аксиомы стереометрии ► Следствия из аксиом стереометрии ► Пространственные геометрические фигуры ► Построение простейших сечений: куба прямоугольного параллелепипеда пирамиды Освоив этот модуль, вы узнаете: • какие понятия в стереометрии являются определяемыми, а какие — неопределяемыми; • каково логическое построение стереометрии; • какие аксиомы заложены в структурное строение стереометрии; • какие аксиомы влияют на дальнейшее построение геометрии; • какие свойства имеют простейшие фигуры пространства; • как определяется единственная плоскость; • чем отличаются плоские фигуры от неплоских; • как выполняют сечение фигуры; • как построить сечение куба, пирамиды, параллелепипеда плоскостью, проходящей через три точки; • как построить сечение куба, пирамиды, параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую и точку вне ее. МОДУЛЬ 2 ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии Напомним, что геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур, которая состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. Планиметрию — раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости, вы изучили. В модуле 1 систематизированы и обобщены факты и свойства таких фигур. Стереометрию — раздел геометрии о свойствах фигур в пространстве -изучают в старших классах. Схематически это выглядит так: Фигуры, которые изучаются в стереометрии, называются геометрическими или пространственными. На рисунке 2.1 54 § 2.L Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии 11;юбражены некоторые пространственные фигуры: пирамида, параллелепипед, конус, цилиндр. Рис. 2.1 Напомним структуру логического построения планиметрии: Поскольку стереометрия также является составляющей геометрии, то строится она по тому же принципу. Некоторые понятия принимаются как основные <простейшие, неопределяемые). Для них формулируются основные свойства - аксиомы, а далее рассматриваются другие, определяемые, понятия и их свойства. Все фигуры, которые рассматривались на плоскости, можно рассматривать и в пространстве. Поэтому основные фигуры (понятия) планиметрии - точка и прямая - автоматически становятся основными фигурами стереометрии. Описываются они так же. В пространстве рассматривается еще одна основная фигура - плоскость. Ее можно представить как идеально гладкую поверхность доски или поверхность листа бумаги, которые продолжены во все стороны до бесконечности. Плоскость также понимают как множество точек. На базе основных понятий определяются другие основные определяемые понятия: расстояние между точками, отрезок, луч, треугольник и т.д. Прямая - подмножество точек плоскости, отрезок - подмножество точек прямой. Некоторые подмножества точек плоскости являются плоским треугольником, четырехугольником и Т.Д., а некоторые - неплоскими фигурами. Пространство состоит из бесконечного множества точек. Итак, основными фигурами (понятиями) в стереометрии являются точка, прямая и плоскость. Эти понятия называют не определяемыми. Каждая пространственная геометрическая фигура состоит из множества точек. Рассмотрим куб на рисунке 2.2. 55 Рис. 2.2 ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ У него 8 вершин (точки), 12 ребер (части прямых) и 6 граней (части плоскостей). Гранями куба являются квадраты - фиг^фы планиметрии. В стереометрии рассматривают более одной плоскости. Пространство состоит из бесконечного количества плоскостей, прямых и точек. Поэтому все аксиомы планиметрии (см. § 1.1) имеют место и в стереометрии. Однако при этом некоторые из них приобретают другой смысл. Так, аксиома 1| в планиметрии утверждает, что существуют точки вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Именно в таком понимании эта аксиома применялась в процессе построения геометрии на плоскости. Теперь эта аксиома утверждает вообще существование точек, не лежащих на данной прямой, в пространстве. Из нее непосредственно не вытекает, что существуют точки вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Это требует уже специального доказательства. Формулирование некоторых аксиом планиметрии как аксиом стереометрии требует уточнения. Это касается, например, аксиом П^, IVg, IVg, Vj. Приведем эти уточнения. Пд. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. IVg. От любой полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один. IVg. Каков бы ни был треугольник, существует треугольник, который равен ему в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости. V,. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Понятно, что с увеличением количества основных фигур появляются новые аксиомы об их свойствах: 1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие эпюй плоскости, и точки, не принадлежащие ей (рис. 2.3, а). G. D 56 § 2.1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии 2. Если две различные прямые имеют общую точку, то че рез них можно провести плоскость, и притом то.пько одну (рис. 2.3, б). 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (рис. 2.3, в). Аксиома 1 указывает на то, что любая плоскость все пространство не исчерпывает. Существуют точки пространства, которые ей не принадлежат. Аксиома 2 утверждает, что две прямые, пересекающиеся в пространстве, всегда определяют одну плоскость. Из аксиомы 3 следует, что если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют множество общих точек, образующих прямую, которая содержит эту точку. Эти три аксиомы дополняют пять групп аксиом планиметрии и вместе с ними образуют аксиоматику стереометрии. Аксиому 1 стереометрии отнесем к группе аксиом принадлежно сти (обозначим Ig), а аксиомы 2 и 3 - к группе аксиом в.тимного расположения (соответственно обозначим Ид, II,). Плоскости обозначаются строчными буквами греческого алфавита - а, р, у, . ; точки - большими буквами латинского алфавита -А, В, С, . ; прямые - малыми буквами латинского алфавита - а, Ь, с, . или двумя прописными буквами латинского алфавита-АВ, CD, . . Для кратких записей утверждений используют символы «е» - принадлежит, «г» - не принадлежит, «с» - подмножество и т.д. Краткие записи взаимного расположения точек, прямых и плоскостей: 1. Точка А принадлежит прямой а (точка А лежит на прямой а, прямая а проходит через точку А). Обозначение: А е а. 2. Точка А не принадлежит прямой а (точка А не лежит на прямой а, прямая а не проходит через точку А). Обозначение: Ai а. 3. Точка А принадлежит плоскости а (точка А лежит на плоскости а, плоскость а проходит через точку А). Обозначение: А е а. 4. Прямая а принадлежит плоскости а (прямая а лежит на плоскости а, плоскость а проходит через прямую а). Обозначение: оса. Итак, используя рисунок 2.3, аксиомы можно записать: Ig. Существуют точки <А, В, К. >е а и точки i а. Пд. Если осу, 6суиаПЬ = 0, тоу — единственная. П^. Если А есоиАеу, тосоПу = а, причем А е о. Плоскости изображают по-разному. На рисунке 2.4 показаны некоторые примеры различных изображений плоскостей. а Рис. 2.4 57 МОДУЛЬ 2 ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ Далее в стереометрии мы будем использовать все определяемые понятия планиметрии, дополнять их новыми, собственно стереометрическими, формулировать и доказывать свойства пространственных фигур. Как видим, логическое построение планиметрии и стереометрии одинаково, отличаются они лишь некоторым содержанием основных понятий, аксиом, определений, теорем. Задача 1 Точки А, В, С, D не лежат на одной плоскости. Докажите, что прямые АВ и CD не пересекаются. Доказательство Докажем методом от противного. Допустим, что прямые АВ и CD пересекаются (рис. 2.5). Тогда, по аксиоме Пд, через них можно провести плоскость, которой принадлежат эти прямые. Это означает, что точки А, В, С, D также принадлежат этой плоскости, что противоречит условию. Предположение неверно. Прямые АВ и CD не пересекаются, что и требовалось доказать. Заметим, что школьный курс геометрии посвящен евклидовой геометрии. Несмотря на то что с течением времени геометрия Евклида была существенно дополнена и откорректирована, ее по-прежнему называют именем древнего ученого. Такое уважение вызвано широтой практического применения евклидовой геометрии. Она используется в технических науках, картографии, геодезии, астрономии и др. Упражнения 2.1°. Укажите количество точек, принадлежащих плоскости 0) (рис. 2.6). А) Одна; Б) две; В) три; Г) 2022; Д) сколько угодно. 58 § 2.1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии 2.2°. На рисунке 2.7 изображены две прямые тип, которые пересекаются в точке О и определяют плоскость у. Укажите, какое количество прямых, проходящих через точку О, лежит на плоскости у. А) Ни одной; В) две; Д) сколько угодно. Б)одна; Г)три; 2.3°. Выберите для двух различных плоскостей аир одинаковые по содержанию утверждения. 1) Плоскости аир пересекаются; 2) плоскости аир имеют только одну общую точку; 3) плоскости аир имеют общую точку; 4) плоскости аир имеют не более двух общих точек; 5) плоскости аир имеют общую прямую. А) 1,2 и 4; Б) 1,3 и 5; В) 2, 4 и 5; Г) 2, 3 и 4; Д) 1,3 и 4. 2.4°. Две различные плоскости имеют общую точку Q. Определите, сколько прямых, проходящих через точку Q, являются общими для плоскостей аир (рис. 2.8). А) Одна; В) три; Д) бесконечное количество. Б) две; Г) ни одной; 2.5°. Определите, сколько общих прямых могут иметь пересекающиеся плоскости. А) Одна; В) три; Д) десять. Б) две; Г) бесконечное количество; 2.6°°. Докажите, что две прямые в пространстве не могут пересекаться более чем в одной точке. 2.7°°. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой. 2.8*. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а, и прямая Ь, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые аиЬ пересекаются. 2.9**. Даны три различные плоскости, которые попарно пересекаются. Докажите, что если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая проходит через точку их пересечения. 59 МОДУЛЬ 2 ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ Следствия из аксиом стереометрии Проанализировав все сказанное ранее, можно утверждать, что логическое построение геометрии имеет следующий вид: [Г[1©[М1[Ж1Г[РМ§] Важное место в геометрии занимают аксиомы. Они выражают наиболее существенные свойства основных геометрических фигур. Все остальные свойства геометрических фигур устанавливаются рассуждениями, опирающимися на аксиомы или ранее доказанные утверждения, которые опираются на аксиомы. Такие рассуждения называют доказательствами. Утверждение, истинность которого доказана и которое используют для доказательства других утверждений, называют теоремой. Простейшими из них являются утверждения для основных фигур стереометрии. Они называются следствиями из аксиом стереометрии. Рассмотрим теоремы, которые являются следствиями из аксиом стереометрии. Теорема 1 Через прямую и точку, не принадлежащую ей, можно провести плоскость, и притом только одну. Доказательство. Пусть ВС — данная прямая и А — точка, не принадлежащая ей (рис. 2.9). Через точки А и В проведем прямую Ь. Прямые ВС и Ь различны и пересекаются в точке В. По аксиоме Пд через них можно провести плоскость а. Докажем, что она единственная, методом от противного. Допустим, что существует другая плоскость р, которая содержит прямую ВС и точку А. Тогда, согласно аксиоме П^, плоскости аир пересекаются по общей прямой, которой принадлежат точки А, В, С, что противоречит условию. Предположение неверно. Плоскость а — единствен-Рис. 2.9 ная. Теорема доказана. 60 § 2.2. Следствия из аксиом стереометрии Теорема 2 Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Доказательство. Пусть заданы прямая а, плоскость а и точки А и В прямой а, принадлежащие а (рис. 2.10). Выберем точку С, которая не принадлежит прямой а. Через точку С и прямую а проведем плоскость р. Если аир совпадут, то прямая а принадлежит плоскости а. Если же плоскости а и р различны и имеют две общие точки А и В, то они пересекаются по прямой Uj, содержащей эти точки. Поэтому через две точки А и В проходят две прямые а и a^, что противоречит аксиоме принадлежности Ig. Поэтому а и а, — совпадают. Однако поскольку а, принадлежит плоскости а, то и прямая а также принадлежит а. Теорема доказана. Рис. 2.10 Теорема 3 Через три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Доказательство. Пусть А, В, С — заданные точки (рис. 2.11). Проведем через точки А и С прямую Ь, а через точки А и В — прямую а. Прямые аиЬ различны и имеют общую точку А. Через них можно провести плоскость а. Докажем, что она единственная, методом от противного. Допустим, что существует другая плоскость р, содержащая точки А, В, С. Тогда, по теореме 2, прямые а и Ь принадлежат плоскости р. Поэтому плоскости аир имеют две общие прямые а и Ь, которые пересекаются, что противоречит аксиоме Пд. Итак, плоскость а — единственная. Теорема доказана. Отметим, если плоскость определена тремя точками, которые не лежат на одной прямой, например А, В, С, то в таком случае пользуются обозначением: (АВС). Читается: «плоскость, заданная точками А, В и С*, или сокращенно «плоскость АВС». Если грань многогранника — четырехугольник, например ABCD, то выбирают запись плоскости произвольной тройкой его 61 МОДУЛЬ 2 ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ вершин. Например, (BCD), (ACD) или (АВС). Однако иногда в записи плоскости оставляют все четыре вершины, например (ABCD). Задача 1 Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, которая бы не лежала с ними в одной плоскости? Решение Через прямые а и 6 (рис. 2.12), которые имеют общую точку О, можно провести плоскость а. Возьмем точку В, которая не принадлежит а. Через точки О и В проведем прямую с. Прямая с не лежит на плоскости а, так как если бы прямая с принадлежала плоскости а, то и точка В принадлежала бы плоскости а. Поэтому через точку пересечения прямых а и Ь можно провести третью прямую, которая не лежит с ними в одной плоскости. Ответ. Можно. Почему именно так? Очевидно, что точки плоскости задают прямые, которые будут принадлежать этой самой плоскости. Если же взять точку пересечения двух прямых на плоскости и точку вне плоскости, то через любые две точки пространства можно провести прямую. Эта прямая будет иметь только одну общую точку с плоскостью, а значит, будет ее пересекать. Задача 2 Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости. Доказательство Поскольку прямые а и Ь параллельны, то по определению эти прямые лежат в одной плоскости а (рис. 2.13). Произвольная прямая с, пересекающая а и Ь, имеет с плоскостью а две общие точки — точки пересечения. Согласно 62 § 2.2. Следствия из аксиом стерео.четрии теореме 2, эта прямая принадлежит плоскости а. Следовательно, все прямые, пересекающие две параллельные прямые, лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать. Задача 3 Докажите, что если прямые АВ и CD не лежат в одной плоско-(;ти, то прямые АС и BD также не лежат в одной плоскости. Доказательство Докажем методом от противного. Допустим, что прямые АС и BD лежат в одной плоскости (рис. 2.14). Тогда точки А, В, С, D принадлежат этой плоскости, а следовательно, прямые АВ и CD принадлежат этой плоскости, что противоречит условию. Предположение неверно, поэтому прямые АС и BD не принадлежат одной плоскости, что и требовалось доказать. Почему именно так? I При доказательстве принадлежности или непринадлежности часто ис-: пользуют метод доказательства от противного. В этом случае он сразу вы-. водит на противоречия, : а значит — доказывает требование задачи. Задача 4 Сколько всего существует различных плоскостей, проходящих через прямую и точку в пространстве? Решение Если в пространстве даны прямая и точка, лежащая на ней, то ими определяется множество плоскостей, поскольку через прямую проходит множество различных плоскостей. Если же точка не лежит на прямой, то по следствию из аксиом стереометрии такую плоскость можно построить только одну. Ответ. Бесконечно много или одна. Почему именно так? Взяв вне этой прямой произвольную точку, мы всякий раз будем иметь другую плоскость, не совпадающую с ранее построенной. Таких плоскостей множество. Через данную точку вне прямой можно провести либо прямую, которая пересекает данную прямую, либо прямую, параллельную данной. Оба случая задают одну плоскость. 63 МОДУЛЬ 2 ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ Упражнения 2.10’’. Выберите четыре утверждения, определяющие единственность плоскости. А) Любые две точки пространства; Б) любая прямая пространства и точка на ней; у В) любая прямая пространства и точка вне ее; Г) любые три прямые пространства; ‘»Д) любые три точки пространства; Е) любые две параллельные прямые; Ж) любые две прямые; V 3) любые две прямые, которые пересекаются. 2.11°. Укажите плоскости, которым принадлежит точка Р (рис. 2.15). 1)(SAB); 2) (SBC); 3)(SAC); 4) (ABC). A) 1 и 2; Б) 2 и 3; В) 3 и 4; Г) 1 и 4. 2.12°. Укажите количество плоскостей, которые можно провести через три точки, лежащие на одной прямой. А) Одну; В) бесконечное количество; Д) три. Б) две; Г) конечное количество; 2.13°. Укажите прямую пересечения плоскостей (CMD) и (MAD), изображенных на рисунке 2.16. А) CD; Б)МС; В)МА; Г) DA; Д)МВ. 2.14°. На двух ребрах пирамиды обозначены точки М и N (рис. 2.17). Укажите плоскость, в которой лежит прямая MN. А) (TRS); S B)(PTS); В) (PRS); Г) (PTR). Р М Рис. 2.15 Рис. 2.17 2.15°°. Определите количество разных плоскостей, которые можно провести черюз пять точек, если четыре из них лежат на одной плоскости (рис. 2.16). А) Одну; Б) четыре; В) пять; Г) шесть; Д) семь. 64 § 2.2. Следствия из аксиом стереометрии 2.16°°. По рисунку 2.16 выбраны плоскости, которые пересекаются по прямым, содержащим ребра пирамиды. Определите среди нижеуказанных утверждений правильные. 1) (МАВ)и(МВС); 3) (MBD) и (MAC); 5) (МВС) и (MAD); 2) (МАВ) и (MCD); 4) (МАВ) и (BCD); 6) (MBD) и (ABD). А)1иЗ; Б) 2 и 5; В) 3 и 6; Г) 1 и 4; Д) 2 и 6. 2.17°°. Определите прямые, с которыми может пересекаться прямая MN (рис. 2.17). DPR; 2) PS; 3)РТ; 4)TS; 5)RS; 6) ТВ. А) 1,2 и 4; Б)2, Зи5; В) 3,4 и 5; Г) 1,3 и 6; Д) 2, 4 и 6. 2.18°°. Выберите две плоскости, которым принадлежит точка Q (рис. 2.18). А) (АВС); В)(МВС); Д)(МАВ). Б) (МАБ); Г) (MCD); 2.19°°. Даны трапеция ABCD и точка О, принадлежащая основанию ВС (рис. 2.19). Определите два утверждения, по которым можно доказать, что все вершины трапеции лежат в одной плоскости а. A) А е а, В 6 а, АВса; Б) В е а, С е а, О е а; B) А е а, D G а, О G а; Г)С G а, D G а, А G а; Д)BC(=a,OGBC, Ogo. 2.20*. Три прямые, которые проходят через точку О, пересекают четвертую прямую в точках А, В и С. Докажите, что точки А, В,С 1лО лежат в одной плоскости. 2.21*. Две вершины и точка пересечения медиан треугольника лежат в плоскости 5. Докажите, что и третья вершина треугольника принадлежит плоскости 5. 2.22*. Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости. 2.23*. Докажите, что все прямые, которые пересекают данную прямую и проходят через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости. 2.24*. Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько можно провести различных плоскостей, проходящих через три эти точки? 2.25*. Сколько плоскостей можно провести через: 1)одну точку; 2)две точки; 3) три точки? Рис. 2.19 S-Geomeb^ 10 М (6ii>anina). rus 65 МОДУЛЬ 2 ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ 2.26*. Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются, то его вершины лежат в одной плоскости. 2.27**. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. М еАВ, К е АС, X G МК. Докажите, что точка X принадлежит плоскости (АВС). 2.28**. Через вершину А ромба ABCZ) проведена прямая а, параллельная диагонали BD. Докажите, что прямые а и CD пересекаются. Сечения Анализируя окружающий мир и систематизируя его предметы по форме, мы убеждаемся, что много из них «усечены» или «склеены». Разъединив их, получим поверхность, которую называют их сечением. С сечениями мы сталкиваемся в разнообразных ситуациях: в быту, в столярничестве, токарстве и т.д. Решением задач на сечения геометрических фигур или других тел занимаются в черчении и конструкторской практике. Сечения выполняют для пространственных геометрических фигур. Мы будем рассматривать сечения трех пространственных фигур: пирамиды, куба и прямоугольного параллелепипеда (их относят к многогранникам; с понятием многогранника вы ознакомитесь позднее). Для введения понятия сечения геометрической фигуры напомним понятие об отрезке, пересекающем или не пересекающем прямую: если в заданной плоскости концы отрезка лежат в различных полуплоскостях относительно заданной прямой, то отрезок пересекает прямую, если же в одной, — то нет. Аналогией такой ситуации в пространстве является плоскость и отрезок, т.е. их взаимное расположение. Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства, а концы отрезка могут лежать в различных полупространствах (рис. 2.20, а) относительно некоторой плоскости, на плоскости (рис. 2.20, б) или в одном полупространстве (рис. 2.20, в). б Рис. 2.20 66 § 2.3. Сечения Если ни одна из двух точек не принадлежит плоскости, а отрезок, соединяющий их, имеет с этой плоскостью общую точку, то 1Ч)1юрят, что данные точки лежат по разные стороны относительно плоскости, или отрезок пересекает плоскость. Если же как минимум две точки пространственной геометрической фигуры л(;жат по разные стороны плоскости, то говорят, что плоскость эту фигуру пересекает, такую плоскость называют секущей. Фигура, которая состоит из всех общих точек геометрической (|)игуры и секущей плоскости, называется сечением геометрической фигуры. На рисунке 2.21 сечения изображены цветом. Сечение задают условием задачи. В зависимости от этих условий и выполняют построение сечения. Учитывая изученное, мы будем решать задачи, в которых сечение задается тремя точками или прямой и точкой вне ее. Почти во всем курсе стереометрии нам придется работать с разными сечениями. Существуют различные методы построения сечений. Наиболее распространенный в практике изучения курса геометрии средней школы — метод следов. Рассмотрим его. Если плоскость грани многогранника и плоскость сечения имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Эту прямую называют линией пересечения данных плоскостей. Плоскость сечения многогранника имеет общие прямые с плоскостями граней многогранника. Прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой грани многогранника, называют следом плоскости сечения. Следов столько, сколько плоскостей граней пересекает плоскость сечения. 67 МОДУЛЬ 2 ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ При построении сечения следует помнить: — через две точки, принадлежащие плоскости, проходит только одна прямая, и эта прямая также принадлежит этой плоскости; — чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две точки, которые принадлежат обеим плоскостям, и через них провести линию пересечения; — при построении сечений многогранников секущей плоскостью нужно найти отрезки, по которым секущая плоскость пересекается с гранями многогранника. Рассмотрим примеры построения сечения многогранника секущей плоскостью. Задача 1 Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер с общей вершиной. Построение Пусть ABCDAjBjCjDj — заданный куб (рис. 2.22). Выберем одну из вершин, например А, являющуюся общей для трех ребер АВ, AAj и AD. Обозначим на этих ребрах точки М, N иР соответственно, являющиеся их серединами. Точки М, N и Р не лежат на одной прямой, а поэтому определяют секущую плоскость (MNP). Точки М и Р — общие точки плоскости сечения и грани ABCD, поэтому РМ = (MNP) П П (ABCD), РМ — сторона сечения. Аналогично PN = (MNP) П (AA^D^D) и MN = (MNP) П (ABBjA,), поэтому PN и MN — две другие стороны сечения. Таким образом, AMNP — искомое сечение. Задача 2 Постройте сечение пирамиды МАВС плоскостью, которая проходит через ребро МА и середину ребра ВС. Построение Плоскость сечения задается прямой МА и серединой ребра ВС (обозначим ее точкой К) (рис. 2.23). (МАК) — плоскость сечения. Найдем прямые пересечения этой плоскости с плоскостями (АВС) и (МВС). Ими будут соответствующие прямые АйГ и КМ, а АМАК, образованный пересечением прямых МА, АК и КМ, — искомое сечение. 68 § 2.3. Сеченил Задача 3 Постройте сечение пирамиды DABC плоскостью, проходящей через три точки, которые лежат соответственно на ребрах AD, ПС, ВС. Построение Рассмотрим случай, когда ни одна из прямых, проходящих через эти точки, не будет параллельна сторонам граней. Пусть М е AD, N е DC, Р е ВС, а — секущая плоскость, проходящая через заданные точки М, N и Р. Построим сечение, выполняя последовательно шаги: 1. Me (ADC), Ne (ADC), тогда MN с (ADC); MN = a П (ADC). 2. Ne (BDC), Pe (BDC), тогда NP c (BDC); МР = аП (BDC). Мы нашли две стороны фигуры сечения: отрезки MN и NP (рис. 2.24, а). Точка Р — общая точка двух плоскостей (АВС) и (MNP). Такие плоскости (по аксиоме П^) пересекаются по прямой, проходящей через точку Р. Для построения такой прямой нужна вторая точка. 3. Плоскости (ADC) и (АВС) пересекаются по прямой АС. MN по условию не параллельна АС и MN с (ADC), поэтому MN ПАС = 3 (рис. 2.24, б). 4. Прямая SP — линия пересечения плоскостей (MNP) и (АВС). Пересечение этой прямой с ребром АВ дает точку Q, которая является вершиной сечения. Таким образом, четырехугольник MNPQ — искомое сечение (рис. 2.24, в). D Рис. 2.24 Задача 4 11остройте сечение прямоугольного параллелепипеда ABCBAjBjCjD, плоскостью, проходящей через середины М и. N ребер АВ и BBj и точку Р пересечения диагоналей грани AjB,CjBj (рис. 2.25, а). 69 МОДУЛЬ 2 ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ Построение Обозначим секущую плоскость а = (MNP). Выполним последовательно шаги, выполняя поиск фигуры, образованной плоскостью сечения. 1. Найдем точку пересечения прямой NP с плоскостью (AAjOjO). Эта прямая лежит в плоскости (BB^D^D), пересекающейся с плоскостью (AA^D^D) по прямой DD^. Точка К-^ — точка пересечения прямых NP и DD^. Точка JiTj — искомая (рис. 2.25, б). 2. Аналогично находим точку К2 как точку пересечения прямой NP с плоскостью (ABCD). Точка ATg “ искомая. 3. Плоскость а пересекает плоскость СВ); 3)(ALD); 4) (ADA); b)(KDC). А)1иЗ; Б) 2 и 4; В)3и5; Г) 2 и 5; Д) 1 и 4. 2.34°°. Выполните рисунок 2.34 и постройте точку пересечения прямой KF с плоскостью (ADC). 2.35°°. Выполните рисунок 2.35 и постройте точку пересечения прямой EF с плоскостью (АВС). 2.36°°. Выполните рисунок 2.36 и постройте точку пересечения прямой PQ с плоскостью (АВС). D, В. В А’ В Г D Рис. 2.35 2.37°°. В треугольной пирамиде ABCD точкам принадлежит ребру ВС (рис. 2.37). Постройте линию пересечения плоскостей (AMD) и (CDB). 2.38°°. В кубе ABCDA^B^Cfiy укажите линию пересечения плоскостей (АВВ,) и (BCCj). 2.39*. Постройте сечение треугольной пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через ребро DC и точку пересечения медиан грани АВС. 73 МОДУЛЬ 2 ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ 2.40*. Постройте сечение куба ABCDA^B^C^D.^ плоскостью, проходящей через ребро АВ и точку пересечения диагоналей грани AjBjCjDj. 2.41*. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через концы трех ребер, выходящих из одной вершины. 2.42*. Постройте сечение куба ABCDA^B^C^D^ плоскостью, проходящей через диагональ ADj грани AAjHjI) и вершину В. 2.43**. Постройте сечение куба ABCZ)AjBjCjZ)j плоскостью, проходящей через диагональ ADj грани AAjZ)j2) и середину ребра BBj. 2.44**. Постройте сечение куба ABCDAjBjCjDj плоскостью, проходящей через вершину Bj и две точки М я N, лежащие на ребрах AAj и CCj. Рассмотрите различные случаи расположения точек М яМ. 2.45**. Постройте сечение треугольной пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через три точки К, S я Р (К е AD, SeAC,Pe (ADB)). % Т я* тут же пришли ему на помощь. Считается, что Пифагор первым доказал теорему, которая носит его имя (сама теорема была известна намного раньше). По легенде, в честь этого открытия ученый принес в жертву быка (кое-кто, правда, полагает, что бык пал жертвой открытия прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5). Причина огромной популярности теоремы Пифагора в единстве трех качеств: простоты, красоты, значимости. Существует несколько сотен различных доказательств этой теоремы (геометрические, алгебраические, механические и др.). К математическим наукам пифагорейцы относили арифметику, геометрию, астрономию и музыку. Они установили, что высота звучания струны зависит от ее длины, т.е. — от числа, и создали первую математическую теорию музыки. Большой заслугой пифагорюйцев является установление факта несоизмеримости стороны и диагонали квадрата. При этом впервые был применен метод доказательства от противного. Это открытие послужило причиной первого кризиса в основах математики, преодоление которого в дальнейшем (Эвдокс и др.) связано с расширением понятия числа (создание теории иррациональных чисел). Пифагору приписывают также теорему о сумме внутренних углов треугольника и задачу о покрытии плоскости правильными одноименными многоугольниками (возможны только три варианта: треугольниками, квадратами и шестиугольниками). Имеются сведения, что Пифагор построил «космические* фигуры, т.е. правильные многогранники (так называемые тела Платона). Однако более вероятно, что пифагорейцы знали только три из них: куб, тетраэдр и додекаэдр, а октаэдр и икосаэдр были впервые открыты Теэтетом. 77 МОДУЛЬ 2 ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ Школа Пифагора много сделала для того, чтобы геометрия стала наукой. Главной особенностью пифагорейского метода является объединение геометрии и арифметики, с помощью чего был найден способ решения задач, которые теперь сводятся к квадратным уравнениям, а также геометрически доказаны некоторые числовые равенства. Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями, а также, вероятно, подобием фигур. Арифметика как практика вычислений не интересовала ученого, и он с гордостью заявлял, что «поставил арифметику выше интересов торговца». В дальнейшем идеи Пифагора развивали, кроме античных ученых, выдающиеся исследователи нового времени: Коперник и Кеплер, Дюрер и Леонардо да Винчи, Эддингтон и многие другие, нашедшие в научно-философском наследии мыслителя основу для установления закономерностей мироздания. Имя Пифагора носят кратер на видимой стороне Луны, множество научных премий, а также улиц в разных городах мира. •(e)’ Вопросы для самоконтроля 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. Какова структура школьного курса геометрии? Каково строение геометрии как науки? В чем состоят различия между планиметрией и стереометрией? Какие геометрические фигуры являются основными в стереометрии? Какое утверждение называется аксиомой? Какие геометрические понятия называют определяемыми, а какие — неопределяемыми? Какими аксиомами дополнена стереометрия? Как определяют единственную плоскость? Какие следствия из аксиом стереометрии вы знаете? Какое утверждение называется теоремой? Какие способы доказательства теоремы вы знаете? Какое количество плоскостей можно провести через три точки? Как проверить, принадлежит ли прямая плоскости? Какой отрезок пересекает плоскость? Что называют сечением фигуры плоскостью? Какие фигуры являются плоскими, а какие — неплоскими? Как определить прямую пересечения плоскостей? Как построить сечение методом следов? 78 Тест для самоконтроля Тест для самоконтроля • Часть 1 Задания 1—16 содержат варианты ответов, из которых правильным является только один или конкретное количество. Выберите правильный ответ. 1°. Укажите текстовое утверждение, соответствующее сокращенной записи «М е а». A) Точка М принадлежит прямой а; Б) точка М принадлежит плоскости а; B) точка М лежит на прямой а; Г) прямая а проходит через точку М; Д) плоскость а проходит через точку М. 2°. Выберите утверждение, интерпретирующее рисунок 2.38. A) т е F в т, Q i т; B) т с: F е т, Q i т; В) т ); 1)А,С,; B) (AjB,C,)n(BB,C); 2) С,В,; В) (BCAj) Л (ADBi); 3) B^C^; r)(A,CiB,)n(CC,B); 4) В,В,; Д) (BjCjBj) П (АА,С). 5)AjB,. А Б В Г д 9°°. В трапеции ABCD (ВС II АВ) проведена средняя .чиния MN (М G АВ, N € СВ). Укажите, по каким из условий (А-Д) можно сделать вывод, что трапеция ABCD лежит в данной плоскости а. A) ACriBD = 0; Б) MN а а; B) MN CZ а и А е а; Г) СВ (Z а и е а; Д) АВ с а и М е а. 80 Тест для самоконтроля 10°°. Куб ABCJDAjBjCjDj пересечен плоскостью, которая проходит через середины трех ребер, выходящих из вершины А. Определите вид фигуры сечения. Л) Тупоугольный треугольник; Б) прямоугольный треугольник; В) равносторонний треугольник; Г) разносторонний треугольник. D, С. В, ——-в Рис. 2.39 11°°. Выберите плоскости, которые будет пересекать прямая /г5(рис. 2.40). l)(ABAi); 2)(DZ),A); 3)(Z)D,Ci); 4); В) BD; Г)АВ; Д) ВС; E)AD. 3.24°. Отрезки АВ, АС, КВ, KD пересекают плоскость а. Выберите отрезки, которые будут пересекать плоскость а. 1)АК; 2)AD; 3) BD; 4) КС; 5) CD. А)1иЗ; Б) 2 и 4; В) 3 и 5; Г) 2 и 5; Д)1и4. 3.25°. Известно, что прямые АВ, АС и A_D, лежащие в одной плоскости, пересекают плоскость а в точках B^, С^, Dy Выберите фигуру, которую можно получить, последовательно соединив точки Bj, Cj, Dy А) Треугольник; Б) прямая; В) отрезок; Г) луч. 3.26°. Треугольник АВС пересекает плоскость а в точках Bj и Cj (рис. 3.12). Найдите длину отрезка BjCj, если известно, что ABj : BiB = 2:3, ВС = 15 см, ВС || В^Су А) 5 см; Б) 10 см; В) 7,5 см; Г) 6 см; Д)9см. 3.27°°. Через точку вне плоскости проведены прямые ОА, ОВ, ОС, пересекающие плоскость а в точках Aj, By Су соответственно. Точки К, М, N — середины отрезков ОАу, ОВу ОСу соответственно. Найдите соотношение периметров треугольников KMN hAjBjCj(phc. 3.13). А) 1:3; Б) 2:3; В) 1 : 2; Г) 1 : 4; Д) 1 : 10. О 3.28°°. Через концы отрезка АВ (рис. 3.14), который не пересекает плоскость а, и его середину С проведены параллельные 94 ,sV Л.2. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстпе прямые, пересекающие плоскость а в точках А^, В^, С, соответ-I ‘l’iicHHo. Найдите длину отрезка CCj, если AAj = 12 см, BS, = 16 см. Л) 6 см; Б) 8 см; В) 12 см; Г) 14 см; Д)20см. 8.29°°. Две вершины А и В треуголь- q инка АВС (рис. 3.15) принадлежат плоскости а, а С — не принадлежит ей. Через |()чку D, принадлежащую стороне АС, проведена прямая DDy II ВС. Найдите д;1ину отрезка DD^, если известно, что Л1)у = 4,5 см, Z)jB = 1,5 см, ВС = 8 см. А) 6 см; В) 2 см; Д)4см. Б) 3,5 см; Г) 6,5 см; 3.30°°. Через концы отрезка MN, который не пересекает пло-(жость а, и его середину К проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках М,, А,, K^ соответственно. I !айдите длину отрезка ММ у, если КК^ = 9 см, NN^ = 15 см. А) 3 см; Б) 5 см; В) 8 см; Г) 6 см; Д)4см. 3.31°°. Из точек Р и Z плоскости а проведены вне ее параллельные отрезки РК = 6 см и ZM = 9 см. Прямая МК пересекает плоскость а в точке О. Найдите расстояние МО, если МК = 6 см. А) 12 см; Б) 9 см; В) 15 см; Г) 18 см; Д)10см. 3.32*. Сторона АВ треугольника АВС принадлежит плоскости а, а две другие — не принадлежат ей. Точка X — произвольная точка луча АС. Постройте точку пересечения прямой XX^ II ВС с плоскостью а. 3.33*. Боковая сторона АВ трапеции ABCD принадлежит плоскости а, а три другие стороны трапеции не принадлежат ей. Постройте точку X — точку пересечения прямой, содержащей другую боковую сторону трапеции, с плоскостью а. 3.34*. Найдите при указанных требованиях задачи 3.33 длину отрезка АХ, еслиАО : ВС = 2 : 3, АВ = 2 см. 3.35*. Сторона AD прямоугольника ABCD принадлежит плоскости а, а все другие — нет. На стороне DC выбрали точку М так, что DM : МС = 2:3. Постройте точку пересечения прямой MX с плоскостью а, если MX || АС. 3.36*. Сторона TS прямоугольника TPRS принадлежит плоскости а, а все другие — нет. На стороне RS выбрали точку М так, что SM: MR = 2 : 3, и провели прямую MN || TR, точка N принадлежит плоскости а. Найдите длину отрезка TN, если TS = 10 см. 3.37**. Точка С делит отрезок АВ в отношении АС : СВ = 2:3. Параллельные прямые, которые проходят через точки А, В, С, пересекают некоторую плоскость в точках Aj, Bj, Cj. Найдите отношение AjBj: AjCj. 95 М ОДУЛ Ь 3 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.88**. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают плоскость а. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость а. 3.39**. Треугольники АВС и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников. Параллельность прямой и плоскости Рассмотренные в параграфах 3.1 и 3.2 случаи не исчерпывают всех возможных вариантов расположения прямой относительно плоскости. Рассмотрим случай, когда у прямой с плоскостью нет ни одной общей точки. В таком случае говорят, что прямая параллельна плоскости. Прямая называется параллельной плоскости, если не имеет с ней ни одной общей точки. Параллельность прямой и плоскости обозначают символом « II ». Например га II а (рис. 3.16). Проверить параллельность прямой и плоскости можно, пользуясь признаком. Теорема 4 <признак параллельности прямой и плоскости) Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Дока.штельство. Пусть а - плоскость, гаг — прямая, которая ей не принадлежит, razj - прямая, принадлежащая а, и ratj II гаг. Если гаг || raг^ (рис. 3.17), то они лежат в одной плоскости р. Тогда raг^ - прямая, все точки которой общие для плоскостей аир. Пусть прямая гаг пересекает плоскость а, тогда эта точка пересечения является общей точкой для плоскостей аир, т.е. принадлежит прямой raг^. Это означает, что прямые гаг и гагJ пересекаются. Получили противоречие условию. Итак, прямая гаг не может иметь с плоскостью а общих точек, поэтому параллельна ей, что и требовалось доказать. Теорема доказана. 96 ^ § 3.3. Параллельность прямой и плоскости Отрезок называется параллельным плоскости, если он принадлежит прямой, которая параллельна плоскости. Например, II помещении, имеющем форму прямоугольного параллелепи-ш!да, стыки стен с потолком параллельны полу, и наоборот -1ТЫКИ стен с полом параллельны потолку и т.д. Аналогично можно рассматривать такое расположение на модели прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.18): ЛА, II (CCiDi^l), AD II ЛА^ || eometrija, 10 М (Bilianina). rus 97 М о ДУЛ Ь 3 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ — одну прямую Ь, параллельную прямой а плоскости а, — множество прямых, скрещивающихся с прямой а плоскости а. Задача 1 Докажите, что все прямые, пересекающие одну из двух скрещивающихся прямых и параллельные другой, лежат в одной плоскости. Дано: прямые а, 6- скрещивающиеся. Доказать, что все прямые, пересекающие Ь и параллельные а, лежат в одной плоскости. Доказательство Проведем несколько произвольных прямых Xj, Xg, . Xj,, пересекающих одну из двух скрещивающихся, например Ь, и параллельных прямой а (рис. 3.22). Поскольку Xj II а и Xg II а. то X *’2’ т.е. Xj и Xg принадлежат некоторой плоскости. Назовем ее а. Отсюда следует, что прямые Xj, а, Xg с а. Аналогично рассуждая, получаем, что прямые Хд, х^, . х^, . также принадлежат плоскости а. Итак, все прямые х,, Xg, Xg, . принадлежат плоскости а. Почему именно так? Скрещивающиеся прямые а и Ь не пересекаются и не параллельны. Нужно выбрать одну из них, с котрой будем выполнять пересечение, например Ь. Тогда на прямой Ь выбираем некую точку, через которую проводим прямую, параллельную прямой а (по аксиоме). Пусть это прямая Xj. Это определяет единственную плоскость, допустим а. На прямой выбираем еще одну точку, через которую проводим прямую Xg II а, причем х, П Ь. Приходим к выводу: Xj Ц а и Xg II а, то X, II Xg, а это означает, что Xg с а. Такие рассуждения можно провести для любой прямой, пересекающей прямую Ь и параллельной прямой а. Задача 2 Плоскость а пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС соответственно в точках Bj и Cj, ВС || а (рис. 3.23). Найдите длину стороны ВС треугольника АВС, если BjCj = б см и CCj : CjA = 3:2. Дано: ДАВС, а, ВС II а, АВ П a = Bj, АС П а = = Cj, CCj: CjA = 3:2, BjCj = 6 см. Найти: ВС. § 3.3. Параллельность прямой и плоскости Решение BjCj — прямая пересечения (АВС) и а. ВС II а, поэтому ВС II BjCi, AABjCj

ДАВС (по углам), 2 “ CCi _ 3 CjA 2k CCj = 3k, CjA = 2k, тогда AC = 5k. ACj -BiCi AC ” BC ACi 2 AC 5 BjCj 2 2fe p c = — = —, B.C, = 6 CM, BC 5 5k ‘ ‘ 2k = 6, k = 3, BC = 5k = 5 ■ 3 = = 15 (cm). Orneem. 15 CM. Почему именно так? Плоскость треугольника АВС пересекается с плоскостью а в двух точках Bj и Cj, через которые проходит единственная прямая BjCj — прямая пересечения плоскостей. ВС || а, поэтому ВС II д:, X е а. Однако через ВС и х проходит единственная плоскость (BCCjB,). Итак, ВС || B,Ci. Далее используем обобщенную теорему Фалеса (о пропорциональных отрезках) или подобие треугольников. Упражнения 3.40°. Определите, сколько прямых, параллельных плоскости, можно построить через точку вне этой плоскости. А) Одну; Б) две; В) три; Г) много; Д) ни одной. 3.41°. Известно, что прямая а параллельна плоскости а. Выберите правильные утверждения. A) Прямая а параллельна только одной прямой плоскости а; Б) прямая а скрещивается с любой прямой плоскости а, кроме одной; B) на плоскости а существует множество прямых, параллельных а, и множество скрещивающихся с а прямых; Г) на плоскости а существует только одна прямая, параллельная а, которая проходит через любую точку плоскости; Д) прямая а имеет на плоскости а множество прямых, которые проходят через одну точку, и только одна из них параллельна ей, а все другие — скрещивающиеся. 3.42°. Определите количество плоскостей, которые можно провести через вершину С треугольника АВС параллельно АВ. А) Одну; В) ни одной; Д) много. Б) две; Г) одну или ни одной; 99 М о Д у л Ь 3 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.43°. Плоскость а пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС соответственно в точках Bj и Cj, ABj: BBj = 3:1, BjCj = = 12 см, ВС II а. Определите сторону ВС треугольника АВС (рис. 3.24). А) 15 см; Б) 16 см; В) 18 см; Г) 24 см; Д)20см. Рис. 3.24 3.44°. Плоскость а, параллельная основанию AD трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны в точках М и N, являющихся их серединами. Найдите длину отрезка MN, если AD = = 17 см, ВС = 9 см (рис. 3.25). А) 16 см; Б) 12 см; В) 13 см; Г) 10 см; Д) 13,5 см. 3.45°. Плоскость а, параллельная основанию равнобокой трапеции, пересекает стороны АВ и CD в точках М и N соответственно, AD = 20 см, MN =16 см. Найдите периметр трапеции ABCD, если М — середина АВ и АВ = 8 см (рис. 3.25). А) 44 см; Б) 40 см; В) 52 см; Г) 48 см; Д) 36 см. 3.46°°. Плоскости аир пересекаются по прямой с. На плоскости а проведена прямая о, параллельная прямой с. Укажите взаимное расположение прямой а и плоскости р. В /Г 1 в|._. Z A) Прямая а пересекает плоскость Р; Б) прямая а принадлежит плоскости Р; B) прямая а параллельна плоскости р. 3.47°°. Укажите грани куба ABCDAjBjCjDj, которым параллельна прямая AjBj (рис. 3.26). 1) A4jZ)jZ); 3)ABCD; 5)B^C^D^A^; 2) ВВ^С^С; 4) DD^CyC-, 6) AD D^Ay А)1и2; Б)2иЗ; В) 3 и 4; Г) 4 и 5; 3.48°°. прямой РТ, пересекает сторону PR в точке S, а сторону RT — в точке Q. Определите длину стороны РТ треугольника PRT, если SR = 7 см, SQ = 3 см и SP = 35 см (рис. 3.27). А) 17 см; Б) 21 см; В) 18 см; Г) 22 см; Д)30см. Рис. 3.26 Д) 5 и 6. Дан треугольник PRT. Плоскость а, параллельная 100 § 3.3. Параллельность прямой и плоскости 3.49°°. Отрезок АВ длиной 24 см пересекается плоскостью а в гочке О, которая делит его в отношении 3 : 5, начиная от точки Л. Через концы отрезка А и В проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а соответственно в точках СиО. Определите сумму длин отрезков СО и АО, если OD = 10 см (рис. 3.28). А) 15 см; Б) 12 см; В) 18 см; Г) 21 см; Д)16см. 3.50*. На рисунке 3.29 изображены отрезки. Известно, что ЛA^ II CCj, AAj II ВВ^, BBj = CCj. Докажите, htoBjCj =ВС. В. В, Рис. 3.29 Рис. 3.30 3.51*. На рисунке 3.30 изображены два четырехугольника. Известно, что AjCj = АС и AjCj || АС, jBjAj = ВА и BjAj || ВА. Докажите, 4ToCCj II BB^. 3.52*. Параллелограммы ABCD и ABC^D^ принадлежат разным плоскостям. Докажите, что четырехугольник CDD^C^ -также параллелограмм. 3.53*. Дан ромб ABCD, в котором меньшая диагональ равна его стороне. Плоскость, параллельная этой диагонали, пересекает две смежные стороны ромба в точках М и N — серединах этих сторон. Найдите периметр ромба, если MN = 6 см. 101 М ОДУЛ Ь 3 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ 1 3.54*. Дан треугольник MNK. Плоскость, параллельная прямой MN, пересекает сторону МК в точке Q, а сторону NK — в точке Р. Найдите длину отрезка КР, если QP = 9 см, MN= 13 см, PN = 8 см. 3.55*. Через один конец О отрезка ОА проведена плоскость. Через другой конец А и точку В этого отрезка проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость в точках Aj и Bj. Найдите длину отрезка AAj, если: 1) ВВ, = 12 см, ОВ : АВ = 3 : 2; 3) BBj = 18 см, ОА : ОВ = 5 : 3; 2) ОА = 8 см, ОВ : BBj = 4:5; 4)ОВ = а,АВ = Ь, ВВ^ = с. 3.56**. Точка М не принадлежит плоскости трапеции АВСВ с основанием AD. Докажите, что AZ) || (ВМС). 3.57**. Докажите, что плоскость а, которая проходит через середины двух ребер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую его основанию, параллельна третьему ребру основания тетраэдра. 3.58**. Отрезок АВ пересекает плоскость а в точке О. Через концы Аи В отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А, и В, соответственно. Найдите: 1) АА,, если известно, что ОА : ОВ = 4:5, ВВ, = 15 см; 2) OAj и ОВр ecлиAAJ : BB^ = 5 : 6, AjBj = 22 см. S т ю их создают? Каковы функции математических моделей? (В ответе на поставленный вопрос желательно отразить, что математическая модель реальных явлений позволяет исследовать их математическими средствами и, соответственно, решить определенную практическую задачу.) Еще одна математическая модель — геометрическая прямая, о которой вы также знаете из курса планиметрии. Всем понятны выражения: прямая речь, прямая дорога, прямой наследник или родственник, прямое соединение, прямое указание, прямая противоположность и т.д. (продолжите ряд). Здесь мы употребляем прилагательное «прямой», но в каком значении? Очевидно, речь идет о том, что происходит в одном направле- 104 Из летописи геометрии mm, не разветвляется, имеет только одно измерение. Вспомни-г — середины отрезков KL, KN, NM, ML со- ‘Щ Итак, плоскости в пространстве могут: пересекаться, совпадать или быть параллельными. Модели параллельных плоскостей встречаются довол1>ио ча-(«го: полки в шкафу, двойные стекла в оконной раме, иол и потолок, перекрытия в многоэтажном доме, ровно сложеииьи* и упаковках диски, учебники и т.д. Выяснить, параллельны ли плоскости, позволяет признак параллельности плоскостей. S Теорема 1 Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство. Пусть а и (5 — даппые плоскости (рис. 4.2), а иЬ-две прямые, лежащие на плоскости а и пср»’ секающиеся в точке А. Прямые а, и b^ лежат па плоскости ( i Dl. ✓ iiV А Рис. 4.8 LSE Свойства параллельных плоскостей Параллельные плоскости имеют определенные свойства. Рассмотрим их. Свойство 1. Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то прямые их пересечения параллельны. Доказательство. Пусть у — секущая плоскость для плоскостей аир, уПа = а, уПр = Ь (рис. 4.9), имеем две прямые а и 6; они могут не пересекаться или пересекаться только в одной точке как прямые одной плоскости у. а с а, & с р, причем а || р. а и Ь не пересекаются и лежат в одной плоскости у, тогда они параллельны, а II Ь, ч.т.д. 121 М о Д у л Ь 4 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Свойство 2. Параллельные плоскости, пересекая две параллельные прямые, отсекают на них равные отрезки. Доказательство. Пусть а и Ь — данные параллельные прямые, аир- параллельные плоскости, пересекающие их соответственно в точках А, В,А^, Bj (рис. 4.10). Поскольку прямые аиЬ параллельны, то они лежат в одной плоскости у. Плоскость у пересекает плоскость а по прямой АВ, а плоскость р — по прямой AjBj, которые по свойству 1 параллельны. Поэтому АВВуА^ — параллелограмм. Таким образом, AAj = BBj, ч.т.д. Свойство 2 иногда формулируется так: отрезки параллельных прямых, находящиеся между двумя параллельными плоскостями, равны. Свойство 3. Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны между собой. Доказательство. Пусть а || у, р II у. Допустим, что плоскости а и р не параллельны. Тогда плоскости а и Р имеют общую точку. Через эту точку проходит две плоскости аир, параллельные плоскости у. Однако через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну, поэтому мы пришли к противоречию. Итак, а || р, ч.т.д. Задача 1 Докажите, что плоскость, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую плоскость. Дано: а, р, у; а II Р, у П а = а. Доказать: плоскость у пересекается с плоскостью р. Доказательство Докажем, что плоскость у пересекается с плоскостью р, методом от противного (рис. 4.9). Пусть у и р не пересекаются, тогда у II р. По условию задачи. Почему именно так? I Для доказательства тре-1 бования задачи важно вы-; брать метод доказатель-j ства: прямой или от про-I тивного. В общих случаях 122 § 4.2. Свойства параллельных плоскостей « II р и у П а = а, тогда а с= а и а а у. Т.е. существует такая точка А на прямой а, через которую проведены две разные плоскости, параллельные плоскости р. Это противоречит теореме о существовании плоскости, параллельной данной. Итак, у -If р, т.е. плоскость у пересекается с плоскостью р, ч.т.д. чаще используют метод от противного. Сделав предположение, противоположное требованию задачи, мы приходим к выводу: у II р, а II р. Отсюда, по транзитивности, у II а, что противоречит условию задачи. Полученное противоречие доказывает требование задачи. Итак, плоскость, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую. Задача 2 Докажите, что прямая, которая пересекает одну из параллельных плоскостей, пересекает и другую. Дано: а II р, m (2 а и m (2 Р, т П а=А. Доказать: прямая т пересекает плоскость р. Доказательство Построим произвольную плоскость у (рис. 4.11), которая проходит через прямую т.А- общая точка прямой т и плоскости а, а значит и плоскости у. Поэтому а П у = а, А е а. Тогда, по задаче 1, у П р = Ь, где Ь — прямая пересечения у и р. Получили, что а || Ь. Прямая т, принадлежащая у, пересекает прямую а в точке А, следовательно, и прямую Ь, т.е. плоскость р. Можно было бы доказать требование задачи методом от противного: предположив, что прямая т не пересекает плоскость р. Тогда, если тПа=Аитне пересекается с р, то m с а, что противоречит условию задачи. Итак, прямая т пересекает плоскость р, что и требовалось доказать. Итак, любая прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую. 123 М оДУЛ Ь 4 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Задача 3 Две параллельные плоскости аир пересекают сторону ВА угла АВС в точках D и Z),, а сторону ВС — соответственно в точках £ и £j. Найдите длину отрезка DE, если BD = 12 см, ££j = 18 см, D^E^ = 54 см (рис. 4.12). Дано: плоскости а и р, а II р, АВ П а = D,AB П р = £)j, ВС П а = £, ВС П p = £j, £>j£j = 54 см, BD = 12 см, BD^ = 18 см. Найти: DE. Решение Пусть а II р, плоскость а пересекает стороны угла АВС в точках В и £, а плоскость р — в точках Z)j и £,. Но условию BD = 12 см, ВВ, = 18 см, В,£, = 54 см. Учитывая, что В£ II Bj£j, имеем: ЛВВ£ подобен ABjB£j. Итак, В£ BjBi ВВ Bi£i ВВ, ’ В£ = ^^^ = 36(см). 18 Ответ. 36 см. Почему именно так? Через точки А, В, С проведем плоскость (АВС), пересекающую две параллельные плоскости аир по параллельным прямым В£ и Bj£j. Тогда полученные треугольники ВВ£ и BjB£j подобны и их соответствующие стороны пропорциональны. Находим неизвестный член пропорции и получаем решение задачи. Упражнения 4.23°. Известно, что прямые пересечения двух плоскостей а и р третьей плоскостью у параллельны. Укажите взаимное расположение плоскостей аир. А) Пересекаются; В) параллельны или пересекаются. Б)параллельны; 4.24°. На рисунке 4.13 изображены параллельные плоскости аир. Точки А, В, С, В, М принадлежат плоскости а, а точки Aj, Bj, Cj, Bj, Mj — плоскости p. Известно, что прямые AAj, BBj, 124 § 4.2. Свойства параллельных плоскостей ГГ,’,, DDj, ММJ попарно параллельны и AAj = 7 см. Укажите два отрезка, длина которых также равна 7 см. Л)СС,; В) DM,; Д)BD,. Б) АС,; Г) ММ,; 4.25°. Через две параллельные нрямыеАВ и CD провели плоскость у, которая пересекла параллельные плоскости а и р по прямым АС и BD соответственно. BD Укажите правильное утверждение для отрезка АС (рис. = 15 см. 4.14). А) АС = 3 см; Б) АС = 5 см; В)АС= 15 см; Г) АС = 20 см; Д) АС = 30 см. 4.26°. Плоскость (О, которой принадлежат две параллельные прямые акЬ (рис. 4.15), пересекает две параллельные плоскости а и р по прямым АВ и CD. Определите четыре возможных названия четырехугольника ABDC. А) Квадрат; В) ромб; Д) параллелограмм. Б)прямоугольник; Г) трапеция; 4.27°. Определите взаимное расположение плоскостей аир, если прямая к пересекает плоскость а и принадлежит плоскости р. А) Пересекаются; В) параллельны. Б) совпадают; 4.28°°. Укажите две пары скрещивающихся прямых, которые принадлежат параллельным плоскостям (АА,В,) и (CC,D,) куба (рис. 4.16). A)ABhD,D; B)AjB,hCD; Д)ВВ,иПП,. Б)АА, иСС,; Г)А,БиПС; Рис. 4.16 7 в, ✓ / 7. 125 М о Д у л Ь 4 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 4.29°°. Установите соответствие правильных утверждений (А-Б) и (1-5) для прямых, принадлежащих параллельным плоскостям (BCCj) и (AAjDj) куба ABCDAjBjCjDj (рис. 4.16). А) Скрещивающиеся прямые; Б) параллельные прямые. 1) ADhCBi; 2) AjZ) и БСр 3) AjZ)j и ВС; 4) DDj и jBjCj; 5) Aj£) и BjC. А Б 4.30°°. Две прямые а и Ь, пересекаясь в точке О, пересекают параллельные плоскости аир соответственно в точках А, ВиС,В. Виберите, пользуясь рисунком 4.17, три правильных утверждения, A) ZOCD = ZOBA; Г) AOCD = АОВА; Б) ZCDO = ZABO; Д) АСОВ

АВОА. B) СО:ОВ = ОВ: ОА; 4,31°°. Укажите по условию задачи 4.30 длину (1-5) отрезка СО для каждого из случаев (А-Д). A) СО : ОВ = 2 : 3, СВ = 12 см; 1)6 см; Б) CD :АВ= 1 : 4, ОВ = 6 см; 2) 3 см; B) АО = OD, ОВ = 3 см; 3)1,5 см; Г) АВ = CD, ОВ = 4,5 см; 4) 4,8 см; Д) СО — ОВ = 1,5 см, СВ = 10,5 см. 5) 4,5 см, 4.32°°. Точки А, В, С принадлежат плоскости а, параллельной плоскости р. Через эти точки провели параллельные прямые, которые пересекли плоскость р в точках Aj, Bj, Cj (рис. 4.18). Найдите периметр AAjBjCj, если ZABC = 90°, АВ = 5 см, ВС = 12 см. А) 29 см; Б) 34 см; В) 30 см; Г) 22 см; Д) 24 см. А Б В Г Рис. 4.17 4.33*. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной плоскости проведены параллельные прямые, пересекаю- 126 § 4.2. Свойства параллельных плоскостей щис другую плоскость в точках Aj и Bj. Найдите длину отрезка Л ,В|, если АВ = а. 4.34*. Могут ли иметь равные длины отрезки непараллельных прямых, находящихся между параллельными плоскостями? 4.35*. Даны куб ABCDA^B^C^D^ и точки F, Р, Q — середины отрезков C,Z)j, CjBj, CjC соответственно. Докажите, что плоскости (FPQ) и (BjBjC) параллельны. 4.36*. Даны куб ABCBAjBjCjBj и точки М, N, R- середины отрезков соответственно. Докажите, что плоскость (MNR) параллельна плоскости (AjBCj). 4.37*. Точка М не принадлежит плоскости треугольника ЛВС. Точки Q, В, К принадлежат отрезкам МА, МВ, МС соответственно и ZMAB + ZAQP = 180°, ZMKQ = ZMCA. Докажите, что плоскости (АВС) и (QPK) параллельны. 4.38*. Точка D не принадлежит плоскости треугольника АВС. ‘Гочки Т, S, F — середины отрезков АВ, АС, AD соответственно. Докажите, что плоскость (TSF) параллельна плоскости (BCD). 4.39*. Дан куб ABCDA^B^CyD^ (рис. 4.19). D, Докажите параллельность плоскостей (B^D^K) и (BDL), где точки КиЬ- середины отрезков CCj и AAj соответственно. 4.40**. Даны параллельные плоскости аир. Через точки М и N плоскости а проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость р в точках КиЬ. Докажите, что четырехугольник MNLK — параллелограмм. Вычислите периметр четырехугольника MNLK, если ML = 14 см, NK = 8 СМИ МК : MN = 9 : 7. 4.41**. Два луча OF и ОР пересекают параллельные плоскости а и Р в точках Bj, Bj, Bg, Bg соответственно. Определите OBj, если BjBj = 3 см, BgBg = 5 см, BjBg = 4 см. р 4.42**. Два луча с началом в точке О пересекают одну из параллельных плоскостей в точках Aj и Bj, а другую — в точках Ag и Bg. Вычислите длину отрезка AjBj, если OAj = = 16 см, AjAg = 24 см, AgBg = 50 см. 4.43**. Из точки В, не принадлежащей данной плоскости а, проведены четыре луча, пересекающих эту плоскость в точках А, В, С, D. Рис. 4.20 Постройте через точку К — середину отрезка РВ (рис. 4.20): 1) плоскость, параллельную плоскости (АВС); 2) плоскость, параллельную плоскости (ВСА). Рис. 4.19 Z F 1 1 К 1 1 DI 4 с 127 МОДУЛЬ 4 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 4.44**. Прямые а, Ь и с, не принадлежащие одной плоскости, пересекаются в точке О (рис. 4.21). На каждой из этих прямых взяты точки Лр Ag, jBj, Bg, Cj, Cg так, что OAj = OA.^, OB^ — OB2, OCj = OCg. Докажите, что (A,B,C,)\\(A2B2C2). 4.45″. Докажите, что можно построить две параллельные плоскости, которые отсекают на трех данных попарно скрещивающихся прямых равные отрезки. 4.46”. Три плоскости параллельны. Прямые а и 6 пересекают эти плоскости соответственно в точках Aj, Ag, Ag и Bj, Bg, Bg. Известно, что A,Ag = 5 см, BjBg = 6 см, B,Bg : BgBg = 2:5. Определите длину отрезков AjAg и BjBg. LSEI Параллельное проецирование. Изображение плоских и пространственных фигур на плоскости Чтобы изобразить пространственные фигуры на плоскости, прибегают к разным методам. Один из них — параллельное проецирование. Параллельное проецирование — это метод изображения произвольной геометрической фигуры на плоскости, при котором все точки фигуры переносятся на плоскость по прямым, параллельным заданной, называющейся направлением, проецирования. Модели параллельного проецирования можно сравнить с тенью на плоской поверхности стены или земли при солнечном освещении. Итак, чтобы выполнить параллельное проецирование, сначала задают фигуру и плоскость, на которую проецируют, — плоскость проекции. Далее задают прямой направление проецирования — проецирующую прямую. Она должна пересекать плоскость проекции. Пусть заданы произвольная плоскость а, проецирующая прямая I и точка А, не принадлежащая ни прямой I, ни плоскости а (рис. 4.22, а). Проведем через точку А параллельно I прямую а, которая пересекает плоскость а в точке А^ (рис. 4.22, б). Найденная таким образом точка Aq называется параллельной проекцией точки А на плоскость а. Т.е. мы выполнили параллельное проецирование точки А на плоскость а. Каждая геометрическая фигура состоит из точек. Поэтому, проецируя последовательно точки фигуры на плоскость, полу- 128 § 4.3. Параллельное проецирование.. Рис. 4.22 маем изображение, которое называют проекцией этой фигуры, а способ выполнения изображения — параллельным проециро на паем. Отметим, что если точка принадлежит проецирующей прямой, ее проекцией будет точка пересечения прямой с плоскостью (точка М на рис. 4.22), а если точка принадлежит плоскости проекции, то ее проекция совпадает с точкой плоскости. Рассмотрим параллельное проецирование для изображения геометрических фигур на плоскость. Пусть F произвольная геометрическая фигура, которую нужно спроецировать на плоскость а. Возьмем произвольную прямую I, пересекающую плоскость а, и проведем через вершины фигуры F (точки А, В, L, К, D, С) прямые, параллельные L. Точки Aj, Bj, Lj, К^, D^, С, — точки пересечения этих прямых с плоскостью проекции (X — будут проекцией вершин фигуры. Понятно, что отрезки (DK, KL, LB, . ) перейдут в отрезки плоскости проекции /CjLj, L^B^, . ), все точки фигуры перейдут в точки плоскости проекции, образовав изображение Fj фигуры F (рис. 4.23). Для параллельного проецирования важно знать его направление. От него зависит общий вид изображения проекции. Например, проекцией отрезка, параллельного проецирующей прямой, будет точка (рис. 4.24, а), а проекцией отрезка, не параллельного проецирующей прямой, — отрезок (рис. 4.24, б). Итак, параллельное проецирование имеет свои свойства для прямых и отрезков, не параллельных направлению проецирования: 9-Geometri>a. 10 М (BHjanina). rus 129 МОДУЛЬ 4 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 1. Проекцией прямой является прямая, а проекцией отрезка — отрезок. 2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают. 3. Соотношения длин отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняются (рис. 4.24, б), т.е. равны соотношению длин своих проекций, в частности середина отрезка проецируется в середину его проекции. Рис. 4.24 Отметим, что длины проекций отрезков, параллельных плоскости проекций, сохраняются, т.е. равны длинам самих отрезков. Отсюда вытекает, что плоская фигура, плоскость которой параллельна плоскости проекции, проецируется в равную себе фигуру. Приведем некоторые свойства изображения фигуры на плоскости, вытекающие из вышеописанного построения. Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости рисунка отрезками (рис. 4.24, б). Действительно, все прямые, которые проецируют точки отрезка АС, лежат в одной плоскости, пересекающей плоскость а по прямой AjCj. Произвольная точка В отрезка АС изображается точкой Bj отрезка AjCj. Отметим, что рассмотренные выше отрюзки, которые проецируются, не параллельны направлению проецирования. Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости рисунка параллельными отрезками (рис. 4.25). Пусть АС и BD — параллельные отрезки некоторой фигуры. Их проекции — отрезки AjCj и Bj Bj — параллельны, поскольку их получили в результате пересечения параллельных плоскостей с плоскостью а (первая из этих плоскостей проходит через прямые АС и AAj, а вторая — через прямые ВО и BBj. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой, то плоскости параллельны). 130 § 4.3. Параллельное проецирование.. Соотношения длин отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняются при параллельном проецировании. „ АВ А.В, ^ ^ Покажем, например, что—-= —^ (рис. 4.26). ВС -SjCj Прямые АС и AjCj лежат в одной плоскости р. Проведем в ней через точку В прямую AgCg, параллельную AjCj. Треугольники ВАА2 и BCCg подобны. Из подобия треугольников и равенств AjBj =А^ и BjCj = BCg вытекает пропорция: ВС Задача Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника? Решение При параллельном проецировании сохраняются соотношения отрезков прямой. Поэтому середина стороны треугольника проецируется в середину проекции этой стороны. Отсюда вытекает, что проекции медиан треугольника будут медианами его проекции. Упражнения it-: 4.47°. Выберите три фигуры, которые могут быть параллельными проекциями двух параллельных прямых. А) Прямая; В) луч; Д) две точки; Б) точка; Г) две параллельные прямые; Е) отрезок. 4.48°. Известно, что I — проецирующая прямая параллельного проецирования. АВ и CD — отрезки, причем АВ || CD, АВ I» I, 131 М о Д у л Ь 4 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ CD ^ I. Укажите взаимное расположение проекций AjBj и CjDj отрезков АВ и CD на плоскости а. A) А,В, II C,D,; B)AjBjC:CiZ)i; C^D^. B) AjBi nCj£>,; nCjDicAjBi; 4.49°. Дано I — направление параллельного проецирования, АВ ^ I. Выберите фигуру, которая может быть проекцией отрезка АВ. А) Прямая; Б) точка; В) две точки; Г) луч; Д) отрезок. 4.50°. Дано I — направление параллельного проецирования, аПй = 0, а|’/и&|’/. Укажите две фигуры, которые могут быть проекциями прямых а и Ь. A) Одна прямая; Г) две скрещивающиеся Б) две пересекающиеся прямые; прямые; B) две параллельные прямые; Д) угол. 4.51°. Дано I — направление параллельного проецирования, ABCD — параллелограмм, I ^ (ABCD). Четырехугольник AjBjCjD, — проекция ABCD на плоскость а. Укажите, какими фигурами может быть четырехугольник AjBjCjDj. А) Ромб; В) прямоугольник; Д) параллелограмм. Б) квадрат; Г)трапеция; 4.52°. Укажите пять фигур, в которые может проецироваться квадрат ABCD. А) Параллелограмм; В) трапеция; Д) квадрат; Б) прямоугольник; Г) ромб; Е) отрезок. 4.53°°. Определите такую фигуру из условий (А-В), которая может быть параллельной проекцией четырех из пяти заданных фигур (1-5), и такую, которая не может быть параллельной проекцией ни для одной из них. (Прямая параллельного проецирования не параллельна плоскости фигуры.) 1) Прямоугольник; 2) квадрат; 3) прямоугольный треугольник; 4) ромб; 5) параллелограмм. 4.54°°. Известно, что четырехугольник AjBjCjDj является параллельной проекцией трапеции ABCD (ВС || AD) на плоскость а. Определите вид четырехугольника AjBjCjDj. A) Трапеция; Б) параллелограмм; B) треугольник. А Б В 132 § 4.3. Параллельное проецирование. Г) трапеция (-AjDj || B,Cj); Д) прямоугольник. Л) Ромб; Б) параллелограмм; В) трапеция (AjBj || CjiJj); 4.55°°. Известно, что AAjB,Cj является параллельной проекцией ДАВСна плоскость а; AM-медиана ААВС,АК и Aff-биссектриса и высота ЛАВС; Mj, К^, — соответственно парал- лельные проекции точек М, К, Н на плоскость а. Укажите правильные утверждения. 1) Если ААВС — правильный, то AAjBjCj — правильный; 2) если ААВС — прямоугольный, то AAjBjC, — прямоугольный; 3) если AM — медиана ААВС, тоА,М, — медиана ЛА|В,С,; 4) если АК — биссектриса ААВС, то А,Л», — биссектриса AAjBjCj; 5) если АН — высота ААВС, то А,//, — высота АА,В,С,; 6) если ВК : КС = 2:3,то В^К^ : АТ,С, = 2:3; 7) если ZA = 30°, ВС = 20 см, то ZA, = 30°, BjC, = 20 см. А) 1,3 и 5; Б) 2, 6 и 7; В) 1 и 2; Г) 3 и 6; Д)4и7. 4.56°°. Известно, что AjBj — параллельная проекция отрезка ЛВ (рис. 4.27) на плоскость а; Cj е AjBj, Cj — параллельная проекция точки С, где С е АВ; АВ = 48 см, AjB, = 36 см. Установите соответствие между условием (А-Д) и выводом (1-5). А)АС = 24см; l)AjC, = 9см; 2) AjCj = 6 см; 3) A^Cj = 27 см; 4) AjCj = 18 см; 5) AjCj = 24 см. 24 см; Б)АС= 12 см; В) АС = 8 см; Г) АС = 32 см; Д) АС = 36 см. А Б В Г д 4.57*. Нарисуйте произвольный треугольник, выберите прямую параллельного проецирования и постройте параллельную проекцию этого треугольника на некоторую плоскость а. 4.58*. Докажите, что если AAjBjCj — параллельная проекция ААВС и (AjBjC,) II (АВС), то AAjB,C, = ДАВС. 4.59*. На рисунке 4.28 изображен прямоугольный параллелепипед ABCBAjBjCjD,. Какие основные свойства параллельного проецирования применяются при его построении? 4.60*. Сформулируйте правила построения тетраэдра. 4.61*. Может ли быть трапеция параллельной проекцией параллелограмма? Ответ обоснуйте. 4.62**. Точки А и В лежат по одну сторону плоскости а; точки Aj и Bj — соответственно параллельные проекции точек А и В на плоскость а. 133 М о Д у л Ь 4 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ В 1) Постройте точку С пересечения прямой АВ с плоскостью а, если AAj > BBj. 2) Постройте параллельную проекцию точки D — середины отрезка ВС — на плоскость а. 3) Запишите возможные соотношения отрезка. 4.63″. Определите фигуру параллельных проекций относительно прямой проецирования AAj на плоскость A^B^C^D^ в прямоугольном параллелепипеде ABCDAjBjCjDj: 1) грани ABCZ); 2) грани CC^D^D; 3) грани AAjDjZ); 4) сечения ADC^B^; I 5) сечения BCD^A^; 6) отрезка ACj; 7) ABDC; 8) сечения AB^D^. 4.64″. Постройте куб ABCDA^B^C^D^ и найдите площадь параллельной проекции ADB^C: 1) на грань BjCjCB; 2) на грань ABCD; 3) на грань AjBjCjDj, если ребро куба равно 6 см. 4.65″. Треугольник AjBjCj — параллельная проекция равностороннего треугольника АВС. Точка М лежит на стороне АС, AM : АС =1:4. Постройте проекцию прямой, которая перпендикулярна к прямой АС и проходит через точку М. 4.66″. Параллелограмм AjBjCjDj является изображением при параллельном проецировании ромба с острым углом 60°. Постройте из вершины этого угла высоты ромба. 4.67″. Треугольник AjBjCj является изображением при параллельном проецировании прямоугольного треугольника с острым углом 60°. Постройте изображение биссектрисы этого угла. 4.1. Каждая грань деревянного бруска — прямоугольник. Докажите, что какой бы способ распиливания этого бруска по продольным ребрам не применили, каждое полученное сечение будет параллелограммом. 134 Из летописи геометрии ИЗ I ЛЕТОПИСМ ОМЕТРИ» Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок.1170-1228) Более двух столетий книги Фибоначчи были непревзойденным образцом математических произведений для европейцев. К. Рыбников Леонардо Пизанский, более известный под прозвищем Фибоначчи, был одним из основоположников математики Нового времени в Западной Европе. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить. Будущий ученый родился в г. Пиза (Италия). Отец его был делопроизводителем пизанской фактории в Алжире, где Леонардо и получил математическое образование. Под руководством местных учителей он ознакомился с арифметикой и алгеброй арабов, а позднее расширил и пополнил свои знания во время путешествий в Египет, Сирию, Грецию, Сицилию и Прованс. Вернувшись на родину, Фибоначчи решил «добавить к индийскому методу кое-что от себя, кое-что от геометрического искусства Евклида и составить трактат», который должен был ознакомить «род латинян» с основными достижениями математики и помочь им успешно вести торговые дела с использованием математических расчетов. Этот трактат, состоящий из 15 разделов, был написан в 1202 г. и получил название «Книга абака» (словом «абак» -счетная доска — Фибоначчи называл арифметические вычисления). К основным работам ученого принадлежат также: «Практика геометрии* (1220) и «Книга квадрата» (1225). «Практика геометрии» содержит применение алгебраических методов к решению геометрических задач. Используя работы Евклида и других греческих авторов, Фибоначчи рассматривает такие темы, как площадь плоских фигур, измерение круга, многоугольник, сфера, цилиндр. Работы талантливого ученого, свыше двух столетий служившие неисчерпаемым источником математических знаний, составили основу для дальнейших успехов итальянской математической школы во времена Возрождения. 135 М о ДУл Ь 4 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ✓ Леонардо да Винчи (1452-1519) Ни одно. исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства. Леонардо да Винчи Природа щедро одарила Леонардо да Винчи красотой, интеллектом и талантами. Гении такого уровня рождаются на Земле раз в тысячелетие. Родился Леонардо неподалеку от Венеции, в селении Анкиано. В 14 лет он стал учеником флорентийского художника Андреа Вероккьо, поскольку по своему происхождению не мог заниматься более уважаемым ремеслом, чем живопись. В 20 лет его провозгласили «мастером», самобытным и непревзойденным художником. Леонардо да Винчи жил и работал в Милане, Венеции, Флоренции, Риме, Париже и других городах Европы. Художник изобрел принцип рассеяния (или сфумато). Предметы на его полотнах не имеют четких контуров: все, как в жизни, — размыто, переходит из одного состояния в другое, а потому дышит, живет, пробуждает фантазию. Благодаря эффекту сфумато (прием в изобразительном искусстве) появилась несравненная улыбка знаменитой «Джоконды». Все 120 шедевров гения также «рассеялись» по миру и постепенно открываются человечеству. Леонардо да Винчи высоко ценил математику. Он разработал теорию перспективы, а также большое внимание уделял теории построения правильных многоугольников и делению окружности на равные части. Некоторые построения мастер выполнял точно, а некоторые — приблизительно. Кроме этого, рассматривал вопрос построения равновеликих фигур и решил первую задачу о построении прямоугольника, равновеликого данному кругу. Среди геометрических за- 136 Вопросы для самоконтроля дач, которые решал ученый, — нахождение высоты предмета но его тени и нахождение ширины реки, основывающихся па сходстве треугольников. Леонардо принадлежит введение термина «золотое сечение» для определения деления отрезка в крайнем и среднем отношении. Такое деление изучалось еще древними греками, а позже — Лукой Пачоли в книге «Божественная пропорция», иллюстрации к которой выполнил Леонардо. Особенно следует упомянуть задачи об определении центра масс полукруга и тетраэдра, решая которые, ученый высказал много оригинальных мыслей. В нахождении площади эллипса Леонардо применил метод, который получил развитие только у математиков следующих поколений под названием «метод неделения». Сквозь призму математических знаний он лучше понимал перспективу картин и глубже внедрялся в окружающий мир. Математика в его жизни была верным и надежным помощником. Вопросы для самоконтроля 1. Какие плоскости называются параллельными? 2. Существуют ли на плоскости а прямые, пересекающие плоскость р, если а II р? 3. Можно ли утверждать, что плоскости параллельны, когда две прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости? 4. Как расположена плоскость треугольника по отношению к некоторой плоскости, если две стороны треугольника параллельны этой плоскости? 5. Как формулируется признак параллельности плоскостей? 6. Сколько плоскостей, параллельных плоскости треугольника, можно провести через точку вне треугольника? 7. Можно ли считать плоскость а совпадающей с несколькими плоскостями? 8. В каком случае плоскости пересекаются? 9. Каково взаимное расположение плоскостей в пространстве? 10. Может ли прямая, пересекающая одну из двух пересекающихся плоскостей, не пересекать другую? 11. Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, не пересекать другую? 12. Всегда ли будут равными отрезки параллельных прямых, которые отсекаются параллельными плоскостями? 13. Могут ли между параллельными плоскостями быть равными отрезки непараллельных прямых? 137 МОДУЛЬ 4 ВЗАИМНОЕ РАСПСШОЖЕНИЕ1ШОСКОСГЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 14. Можно ли утверждать о параллельности плоскостей аир, если плоскость у пересекает эти плоскости по параллельным прямым? 15. Как расположены плоскость трапеции и плоскость а, если диагонали этой трапеции параллельны плоскости а? 16. Могут ли скрещивающиеся прямые принадлежать параллельным плоскостям? 17. Могут ли три грани куба быть параллельными одной плоскости? 18. Как строят параллельную проекцию геометрической фигуры? 19. Каковы основные свойства параллельного проецирования? 20. Какая фигура может быть параллельной проекцией трапеции? 21. Можно ли утверждать, что когда проекцией являются параллельные прямые, то геометрической фигурой, которую проецируют, являются также параллельные прямые? 22. Могут ли длины проекций отрезка и самого отрезка быть различными? 23. Может ли параллельная проекция квадрата быть прямоугольником; параллелограммом? 24. Какой елемент треугольника проецируется сам в себя? 25. Каково взаимное расположение проекций двух пересекающихся прямых? 26. Могут ли проекции скрещивающихся прямых совпадать? 27. Любое ли изображение геометрической фигуры является ее параллельной проекцией? 28. Можно ли разносторонний треугольник считать изображением равностороннего; равнобедренного треугольника? 29. Можно ли тупоугольный треугольник считать изображением прямоугольного; остроугольного треугольника? 30. Каковы общие требования для выполнения изображения прямоугольного параллелепипеда; куба; пирамиды? 31. Можно ли параллелограмм считать изображением ромба; квадрата; прямоугольника? Тест для самоконтроля • Часть 1 Задания 1—16 содержат варианты ответов, из которых правильным является только один или конкретное количество. Выберите правильный ответ. 1°. Две стороны АВ и АС треугольника АВС параллельны некоторой плоскости а (рис. 4.29). Укажите расположение плоскостей (АВС) и а. А) Пересекаются; Б) совпадают; В) параллельны. 138 Тест для самоконтроля В Рис. 4.29 2°. Плоскости со и S параллельны (рис. 4.30). Точки Р, Q принадлежат плоскости со, а точки S, R- плоскости 5 и PS || QR. Сравните длины отрезков PS и QR. А) PS > QR; Б) PS AjBjCjZ)j, если точки К, L, М, N — середины ребер АВ, CD, CCj, ВВ^ соответственно. А) Пересекаются; Б) параллельны; В) совпадают. В г. К ^ \ \: ^ \ \n \ i / / / / М В А 7. В,: D 4, clI z Рис. 4.33 Рис. 4.31 10°°. Определите взаимное расположение прямых МК и М^К^, если параллельные плоскости аир пересекают их в точках М, К, Мр АГ, (рис. 4.32), причем ММ, КК^. А) Скрещиваются; В) параллельны. Б) пересекаются; 11°°. Выберите правильные обоснования параллельности плоскостей (АВВ,) и ^DD^C^) изображенного куба АВС1)А,В,С,П, по признаку параллельности плоскостей (рис. 4.33). 1) АВ II С,£>,, В,В II и В,А || С,В; 2) АВ II С,!),, ВВ, II ВВ, и АВ П ВВ,, С,В П ВВ,; 3) В,В II В,В,А,А II С,С,АВ || С,В, иА,В, || СВ; 4) ВВ, П В,А, ВВ, П С,В и В,В || В,В, В,А || ВС,; 5) А,В ПАВ,, В,СПС,ВиА,В || В,С, В,А || С,В. А) 1,2 и 4; Б) 2,3 и 5; В) 2, 4 и 5; Г) 1,4 и 5; Д) 2,3 и 4. 12°°. Укажите правила построения изображения проекций прямоугольного параллелепипеда. 1) Противоположные ребра проекций — равные отрезки; 2) противоположные ребра проекций — параллельные отрезки; 3) углы всех граней проекций — прямые; 4) все грани проекций — прямоугольники; 5) все грани проекций — параллелограммы; 6) все грани проекций — квадраты. А) 1,2 и 4; Б) 1,2 и 5; В) 3, 4 и 6; Г) 2, 5 и 6; Д) 1,3 и 6. 140 Тест для самоконтроля 13°° Укажите требования для построения изображения правильной треугольной пирамиды (основание пирамиды — правильный треугольник, боковые грани пирамиды — равнобедренный треугольник). 1) Ребра основания пирамиды — равные отрезки; 2) не все ребра основания пирамиды — равные отрезки; 3) боковые ребра пирамиды — равные отрезки; 4) не все боковые ребра пирамиды — равные отрезки; 5) все грани пирамиды — треугольники. А) 1,3 и 5; Б) 1,4 и 5; В) 2, 3 и 5; Г) 2, 4 и 5; Д) 2, 3 и 5. 14°°. Прямая о лежит на плоскости а, прямая 6 — на плоскости р, причем а II р. Укажите количество возможных общих точек для прямых а и ft (рис. 4.34). А) Одна; Б) две; В) три; Г) множество; Д) ни одной. 15°°. Через параллельные прямые т и п проведена плоскость у, пересекающая параллельные плоскости а и р по прямым MN и Укажите возможный вид четырехугольника MNN-^My 1) Трапеция; 4)ромб; 2) параллелограмм; 5) прямоугольник. 3) произвольный четырехугольник; А) 1 или 2, или 4; В) 3 или 4, или 5; Д) 1 или 4, или 5. Б) 2 или 4, или 5; Г) 1 или 3, или 4; 16°°. Точки KviL принадлежат плоскости а, а точки МнН -плоскости р, а II р, отрезки КМ и LH пересекаются в точке О (рис. 4.35). Найдите длину отрезка КМ при выполнении дополнительных условий (А-Д). Идентифицируйте условие (А-Д) и правильный ответ (1-5). A) KL — 6 см, МН = 5 см, ОМ = 10 см; Б) ОМ = 9 см, OL = 4 см, ОН = 12 см; B) KL = 3 см, МН = 4 см, ОМ = 8 см; Г) ОК = 8 см, OL = б см, ОН = 9 см; Д) KL = 10 см, ОК = 4 см, МН = 15 см. Рис. 4.34 Рис. 4.35 141 МОДУЛЬ 4 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ • Часть 2 Выполните задания 17—28 с краткой записью хода рассуждений. 17*. Даны две параллельные плоскости аир. Точки К и Н принадлежат плоскости а, точки С и Р — плоскости р. Отрезки КР и СН пересекаются в точке О. Найдите длину отрезка ОР, если КН = 13,5 см, КО = 9,6 см, СР = 4,5 см. 18*. Параллельные плоскости аир пересекают стороны угла АСВ в точках Aj, Bj, А.^, Bg соответственно. Найдите длину отрезка СВ^, если CAj: AjAg = 1 : 3 и CBg = 12 см. 19*. Сторона АВ треугольника ASB параллельна каждой из параллельных плоскостей аир. Плоскости аир пересекают сторону AS соответственно в точках Aj и Ag, а сторону ВС — в точках Bj и Bg. Найдите длину отрезка AjBj, если АВ = 18 см, Ag — середина отрезка AS, а Aj — середина отрезка AgS. 20*. Даны прямоугольник ABCD и точка S, не принадлежащая плоскости этого прямоугольника. Точку S соединили отрезками со всеми вершинами прямоугольника ABCD. Через точку Bj — середину отрезка SD — провели плоскость а, параллельную плоскости (ABCD), которая пересекла отрезки SA, SB и SC в точках А,, Bj, С, соответственно. Найдите периметр четырехугольника AjBjCjBj, если AD = 8 см, АВ = 6 см. 21*. Из точки S, не принадлежащей ни одной из двух параллельных плоскостей а, р и не лежащей между ними, проведены три луча, которые пересекают плоскость а в точках Aj, Bj, Cj, а плоскость Р — в точках Ag, Bg, Cg. Вычислите периметр AAjBjCj, если AgBg = 8 см, BgCg = 10 см, AgCg = 12 см и SAj : SAg = 2:3. 22*. Из точки S, не принадлежащей ни одной из двух параллельных плоскостей а, Р и не лежащей между ними, проведены три луча, которые пересекают плоскость а в точках Aj, Bj, Cj, а плоскость р — в точках Ag, Bg, Cg. Вычислите площадь AA^B^C^, если AAjBjC, и AAgBgCg — правильные, AgCg = 4-JS см, SAj: SAg = = ^/3:2. 23*. Даны параллельные плоскости а и р. А € а, В е а. Се р, D Е р. Отрезки АС и BD пересекаются в точке К. Найдите длину отрезка KD, если АВ = 2 см, CD = 4 см и КВ = 5 см. 24*. На параллельных плоскостях аир выбраны пары точек Aj, Ag и Bj, Bg соответственно так, что AjBj и AgBg пересекаются в точке Q. Вычислите длину отрезка QAj, если AjBj = 6 см, QAg = 2,5 см, QBg : QAg = 3:1. 25*. На параллельных плоскостях аир изображены ZiAjBjCj и AAgBgCg соответственно. Найдите площадь AAgBgCg, если AjAg Ц II BjBg II CjCg, AjBj = 4 см, BjCj = 3 см, ZA^B^C^ = 90°. 26*. При параллельном проецировании ромба ABCD на плоскость а получили четырехугольник AjBjCjDj, в котором 142 Тест для самоконтроля А,В, В CjZ)j. к е АВ, точка — проекция точки К на плоскость а, причем КА : КВ = 2:3. Найдите длину отрезка AjA»,, ство. Пусть а — данная прямая и А- точка на ней (рис. 5.2). Возьмем вне прямой а произвольную точку X и проведем через эту точку и прямую а плоскость а (следствие из аксиом). В плоскости а через точку А можно провести прямую Ь, перпендикулярную а(Ы. а). Теорема доказана. Теорема 2 Бели две пересекаюпщеся прямые соответственно параллельны двум перпендикулярным прямым, то они также перпендикулярны. Доказательство. Пусть а и Ь — данные перпендикулярные прямые и Oj II а, || Ь, а также прямая а пересекает Ь в точке О, а прямая Oj пересекает в точке (рис. 5.3). Тогда Oj и ftj лежат в плоскости р, а прямые а и & — в плоскости а, которые будут параллельными по признаку параллельности плоскостей. Соединим точки О и Oj. Выберем на прямой Oj точку Aj, а на прямой bj — точку Bj. Проведем AAj || OOj и jBBj II OOj. ТогдаAAj II BBj. 146 § 5.1. Перпендикулярность прямых в пространстве Четырехугольники О^А^АО и О^В^ВО — параллелограммы, отсюда OjAj = ОА и Oj-Bj = ОВ. Поскольку AAj || ВВ^, то они лежат в одной плоскости у, пересекающей плоскость Р по прямой AjBj, а плоскость а — по прямой АВ, которые параллельны, т.е. AjBj II АВ. Итак, четырехугольник АА^^В^В -параллелограмм, у которого AjBj =АВ. Таким образом, треугольники ОАВ и OjAjBj равны по третьему признаку равенства треугольников, а ± Ь, отсюда /ЛОВ = 90°, поэтому ZAjOjBj = 90°. Итак, прямая Oj перпендикулярна прямой Ьу Теорема доказана. Рис. 5.3 Теорема 3 Через любую точку пространства, не принадлежащую прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной (рис. 5.4, а). Теорема 4 Если прямая перпендикулярна одной из двух па-‘ раллельных прямых и лежит с ними в одной плоскости, то она перпендикулярна и второй прямой (рис. 5.4, б). Доказательство теорем 3 и 4 выполните самостоятельно. Расположение трех прямых в пространстве, когда они между собой попарно перпендикулярны и имеют общую точку, является особым случаем (рис. 5.4, в). Рис. 5.4 Отметим, что в пространстве существует множество плоскостей, которые можно провести через одну и ту же прямую. Выбирая точку А вне прямой, мы попадем на одну из этих плоскостей и в выбранной плоскости к данной прямой через точку А проводим прямую, перпендикулярную данной. 147 МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ. Итак, в пространстве к прямой можно провести сколь угодно много перпендикулярных прямых, проходящих через данную точку этой прямой. Задача 1 Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны (рис. 5.5). Найдите отрезок CD, если АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD= 1,5 см. Дано: AB1AC,AC\.AD,ABLAD’, АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см. Найти: CD. Решение Из ААВС (ZA = 90°) по теореме Пифагора АВ2 + АС2 = ВС2. АВ = 3 см, ВС = 7 см, поэтому 9 4- АС^ = 49, отсюда АС^ = 40 см^. Из ДАСН (ZA = 90°) по теореме Пифагора AC^+AD^ = CD^. АС^ = 40 см2, AD = 1,5 см, поэтому 40-1-2,25 = 01)2, CZ)2 = 42,25 см2, CD > 0; CD = 6,5 см. Ответ. 6,5 см. Почему именно так? Каждая пара данных прямых АВ, АС и AD — перпендикулярна, t т.е. образует прямые углы. Соеди-. нив последовательно точки В с С, С с D и D с В, получим прямоуголь-‘ ные треугольники, i 1) ААВС (ZA = 90°): известны I катет и гипотенуза, неизвестна сторона, являюпдаяся вторым катетом. СА — сторона AACD. 2) AACD (ZA = 90°): один катет известен по условию, второй — найден из ААВС; неизвестной является третья сторона — гипотенуза. По теореме Пифагора составляем выражение и выполняем вычисление длины отрезка CD. Упражнения Шу 5.1°. Выберите правильное определение перпендикулярных прямых в пространстве. A) Прямые, которые пересекаются под прямым углом; Б) прямые, которые лежат в одной плоскости, пересекаются и образуют равные углы; B) прямые, которые пересекаются и образуют равные углы; Г) прямые, которые при пересечении образуют два равных смежных угла; Д) прямые, которые лежат в одной плоскости и не являются параллельными. 148| § 5.1. Перпендикулярность прямых в пространстве 5.2°. Укажите, сколько перпендикулярных прямых можно провести к прямой пространства через данную точку на ней. А) Одну; Б) две; В) три; Г) четыре; Д) много. 5.3°. Укажите количество прямых, перпендикулярных данной, которые проходят через точку вне данной прямой. А) Одна; Б) две; В) три; Г) четыре; Д) много. 5.4°. Известно, что прямые а, Ь принадлежат плоскости а, а 6j — плоскости Р, а II Oj и ft || bj, причем а и Ь — перпендикулярные. Выберите правильное утверждение. A)aJ|6i; B)ai±&i; В) Oj || ft; Hajib; Д)al6J. 5.5°°. Укажите взаимное расположение в пространстве прямых, перпендикулярных одной и той же прямой. A) Пересекаются или скрещиваются; Б) пересекаются или параллельны; B) параллельны или скрещиваются; Г) только скрещивающиеся; Д) только параллельны. 5.6°°. На рисунке 5.6 изображен куб АВСDA^B^C^D^. Укажите тройку попарно перпендикулярных прямых. A)Z)Di,AAj,AD; r)A^B^,C^Bi,B^B; Б)А^А,АВ,ВС; Д,)С^П,ВС,АВ. 5.7°°. Вычислите периметр ААВ^С, если ребро куба равно 4 см (рис. 5.6). А) 12 см; Б)6%/2 см; В)4>/2 см; Г) 12^2 см; Д)1бч/2 см. 5.8°°. Вычислите площадь AD^AC, если ребро куба равно 8 см (рис. 5.6). A)18n/3 ем“ B)24^^cм2; Д)16%/3 СМ‘ .2. Б)32^3 см^; г)Зб>Уз см‘ 5.9*. На попарно перпендикулярных лучах ОХ, ОУ, OZ (рис. 5.7) выбраны точки М, N, К так, что ОМ = ON = OK. Докажите, что треугольник MNK — правильный. Запишите формулой периметр и площадь AMNK, если ОМ — а. / в, / / «I г Рис. 5.6 149 МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ. 5.10*. На попарно перпендикулярных лучах ОХ, OY, OZ выбраны точки А, В, С соответственно (рис. 5.8). Найдите периметр полученного треугольника АВС, если: 1) ОА = ОВ = ОС = 5 см; 2) ОА = ОС = 5 см, ОВ = 6 см; 3) ОА = 3 см, ОВ = 4 см, ОС = 5 см; 4) ОА = а, ОВ = 2а, ОС = За. 5.11**. Дан куб ABCDAjBjCjZ),, в котором точки О и Oj — центры противоположных граней. Докажите, что прямая OOj перпендикулярна диагоналям этих граней. 5.12**. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA-^B^C^D^ (рис. 5.9) через отрезок OCj и точку В проведена плоскость. Вычислите периметр полученного сечения, если а, Ь, с — измерения параллелепипеда, причем а = 3 см, Ь = 4 см, с = 6 см. 5.13**. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA-^B-fi-^Dy Вычислите периметр сечения, полученного плоскостью, проведенной через отрезок DC^ и точку В, если а, Ь, с — измерения параллелепипеда, причем а = 4см,6 = 2см,с = 8см. 5.14**. На ребрах AD и ВС правильного тетраэдра ABCD обозначены точки М и К, являющиеся серединами этих ребер. Докажите перпендикулярность прямых: 1) КМ и AD; 2) КМ и ВС. Перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве Мы уже рассматривали взаимное расположение прямой и плоскости, детально ознакомились со случаем, когда прямая не пересекает плоскость. В этом параграфе мы рассмотрим случай, когда прямая пересекает плоскость и, кроме того, образует с произвольной прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения, прямой угол. Такую прямую называют перпендикулярной плоскости. Все другие неперпендикулярные прямые, пересекающие плоскость, называют наклонными. 150. Рис. 5.10 § 5.2. Перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве Моделью прямой, перпендикулярной плоскости, может быть установленная вышка, столб, вкопанный в лемлю, гвоздь, вбитый в стену, и т.п. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна произвольной прямой, которая лежит на этой плоскости и проходит че-1>ез их точку пересечения. Чтобы определить, будет ли прямая а перпендикулярной плоскости а, нужно через точку ее пересечения с плоскостью О провести множество прямых Xj, ^3, . (рис. 5.10) и доказать, что она перпендикулярна каждой из них. Этот путь нерациональный. Поэтому, чтобы установить перпендикулярна ли прямая плоскости, пользукугся при.таком перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема 5 (признак перпендикулярности прямой и плоскости) Если прямая перпендикулярна двум пересекаю- n проходят через точку М и принадлежат плоскости а. Выберите среди заданных 5j, ftg. —» все прямые, которые будут перпендикулярны прямой а. А) Прямая 5j; Б) прямые by и bgJ 154 § 5.2. Перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве В) прямые by, bg,6jq; Г) прямые by, &2» —. Ь^, где п — конечное натуральное число; Д) прямые by, feg» где п — бесконечное натуральное число. Рис. 5.15 5.17°. Прямая SB — перпендикулярна плоскости параллелограмма ABCZ) (рис. 5.16). Укажите прямые, которым перпендикулярна прямая SB. 1)АВ; 2) ВС; 3)AD; 4)ВП; 5) СП. А)1,2иЗ; Б) 1,2 и 4; В)2, Зи4; Г) 2, 3 и 5; Д) 1,3 и 5. 5.18°. Известно, что некоторая прямая I перпендикулярна сторонам АВ и АС треугольника АВС. Определите взаимное расположение прямой I и плоскости (АВС). A) Прямая I пересекает плоскость (АВС), но не перпендикулярна ей; Б) прямая I принадлежит плоскости (АВС); B) прямая I перпендикулярна плоскости (АВС); Г) прямая I параллельна плоскости (АВС). 5.19°. Прямая КО перпендикуляр- к на плоскости параллелограмма АВСП (рис. 5.17). Выберите пару прямых, перпендикулярных прямой КО. A) АВиВП; Г) АОи ВС; Б)АВиСП; Д)АСиСП. B) АСиВВ; 5.20°°. Одна из прямых, которая содержит сторону параллелограмма, перпендикулярна плоскости а. Определите взаимное расположение прямой, содержащей противоположную сторону этого параллелограмма, и плоскости а. A) Принадлежит плоскости а; Б) параллельны между собой; B) перпендикулярны между собой. Рис. 5.17 155 МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ. 5.21°°. Прямая МВ перпендикулярна сторонам АВ и ВС треугольника АБС. X-произвольная точка стороны АС (рис. 5.18). Определите вид треугольника МВХ. А) Остроугольный; Б) тупоугольный; В) прямоугольный. 5.22°°. Плоскость а перпендикулярна прямой Ь, а прямая Ь перпендикулярна плоскости ОС. 160 S 5.3. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах А К Рис. 5.25 Рис. 5.26 5.37°. К плоскости а проведены перпендикуляр КО и наклонные КН и KL. Выберите три правильных утверждения (рис. 5.26). A) Если ОН OL; Б) если OL > ОН, то KL > КН; B) если КО > ОН, то КН > OL; Г) если КН ОН; Д) если КО 1 а, то КО MD; 4) МА CCi). 5.46*. Отрезок AM перпендикулярен плоскости треугольника АВС (ZC = 90°). Докажите, что АМСВ — прямоугольный. 5.47*. Из точки М, лежащей вне плоскости треугольника АВС, проведен к этой плоскости перпендикуляр МА длиной 12 см. Найдите длины наклонных МВ и МС, если катеты АС и ВС равны 4 см и 3 см соответственно. 5.48*. Из точки А, лежащей вне плоскости а, проведены к плоскости перпендикуляр АВ длиной 12 см и наклонная АС, которая на 8 см длиннее своей проекции. Найдите длину наклонной. 5.49*. Из точки А к плоскости а проведены две наклонные ЛВ и АС и перпендикуляр AQ. Найдите длины проекций наклонных АВ и АС, если АВ = 13 см, АС = 15 см, AQ= 12 см. 5.50*. Из точки S, лежащей вне плоскости а, проведены к плоскости перпендикуляр SO длиной 15 см и наклонная SA. Найдите длину проекции этой наклонной на плоскость а, если наклонная длиннее своей проекции на 3 см. 5.51*. Из точки А к плоскости а проведены две наклонные АВ и АС длиной 26 см и 30 см соответственно. Проекция наклонной АВ равна 10 см. Найдите длину проекции наклонной АС на плоскость а. 5.52*. Из точки М к плоскости а проведены две наклонные МВ и МС длиной 13 см и 15 см соответственно и перпендикуляр МА. Найдите длину перпендикуляра, если одна из проекций наклонных на плоскость а на 4 см длиннее другой. 5.53*. Точки К и D принадлежат плоскости а, а М и N — плоскости р (а II Р). Отрезок КМ перпендикулярен плоскости а. КМ = 5 см, DN = 7 см. Найдите проекции отрезка DN на плоскости аир. 5.54*. Точки А и В принадлежат плоскости а, а точки С и В -плоскости р. Отрезок АС перпендикулярен плоскостям аир, АС = 10 см. Проекция отрезка BD на одну из плоскостей а или Р равна 24 см. Найдите длину отрезка BD. 5.55**. Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна плоскости а, вершины А и С принадлежат плоскости а. Найдите периметр параллелограмма АВСВ, если АБ = 6 см. 5.56**. Из некоторой точки к плоскости проведены две наклонные, длины которых относятся как 5 : 6. Найдите длину перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если соответствующие проекции наклонных равны 4 см и 3\/з см. 163 МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ. 5.57”. Из некоторой точки пространства проведены к данной плоскости перпендикуляр длиной 12 см и наклонная 15см. Вычислите длину проекции перпендикуляра на наклонную. 5.58». Из точки М, взятой вне плоскости р, проведены две наклонные, равные 37 см и 13 см. Длины проекций этих наклонных относятся как 7:1. Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки М к плоскости р. 5.59*. Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника АВС к его плоскости проведен перпендикуляр CD длиной 1 дм. Найдите площадь треугольника ADB, если АС = 3 дм, ВС = 2 дм. 5.60”. Стороны треугольника 15 см, 37 см и 44 см. Из вершины наибольшего угла треугольника построен к его плоскости перпендикуляр Л длиной 9 см. Найдите длину перпендикуляра Лр проведенного из конца перпендикуляра Л, который не принадлежит плоскости треугольника, к большей стороне треугольника. 5.61”. Стороны треугольника равны 11 см, 13 см и 20 см. Через вершину наименьшего угла проведен перпендикуляр к плоскости треугольника, а из его конца, не принадлежащего треугольнику, опущен перпендикуляр длиной 24 см на противолежащую этому углу сторону. Найдите длину перпендикуляра, проведенного к плоскости треугольника. 5.62”. Из вершины прямого угла С равнобедренного треугольника АВС проведен перпендикуляр CF к плоскости треугольника. Постройте перпендикуляр из точки F до гипотенузы и найдите его длину, если CF = 24 см, АВ = 36 см. 5.63”. Из центра круга О радиуса 4 см проведен к плоскости круга перпендикуляр ОА. Через точку В окружности провмена касательная BD и на ней отложен отрезок ВС длиной 4V3 см. Наклонная АС равна 10 см. Найдите длину перпендикуляра QA. Перпендикулярность плоскостей Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым (рис. 5.31). Если уПа = а, уПр = 6, аПр = с, с1уиа±Ь, ToaJ-P. Моделями перпендикулярных плоскостей в окружающем мире являются различные конфигурации предметов. Например, шкатулка с крышкой, двери, окна, которые открываются, и т.д. Принцип «открывания» частей моделей основывается на перпендикулярности прямых, проведенных перпендикулярно прямой пересечения (линии крепления) (рис. 5.32). 164 § 5.4. Перпендикулярность плоскостей Рис. 5.31 Рис. 5.32 Перпендикулярные плоскости обладают такими свойствами: 1) Любая плоскость, перпендикулярная линии пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым. И наоборот, плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна линии их пересечения. 2) Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная их линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости. 3) Если две плоскости взаимно перпендикулярны и из произвольной точки одной из них опущен перпендикуляр на вторую, то этот перпендикуляр лежит в первой плоскости. Рассмотрим их несколько позднее. Докажем сначала признак перпендикулярности двух плоскостей. Теорема 7 (признак перпендикулярности плоскостей) Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Дано: а, а ± а; а П а = О; плоскость р проходит через а. Доказать: р J.а. Доказательство. Построим произвольную плоскость р через прямую а и некоторую точку К вне ее (рис. 5.33). О — общая точка плоскостей аир, поэтому они пересекаются по некоторой прямой Ь, проходящей через точку О. Проведем на плоскости а некоторую прямую с ± 5 (на плоскости такая прямая единствен- 165 МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ. нал). Поскольку а 1 а и а П а = О, то а 1 с (О е с, О е Ь, О е а). Итак, прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и Ь (с 1 а и с L Ь). Построим через прямые а и с плоскость у. Она перпендикулярна прямой Ь (поскольку две ее прямые перпендикулярны Ь). Поэтому ее линии пересечения с плоскостями а и р образуют прямой угол. Т.е. плоскость у, перпендикулярная прямой пересечения Ь плоскостей а и р, пересекает их по перпендикулярным прямым а и с, что по определению доказывает перпендикулярность плоскостей а и р. Теорема доказана. Теперь вернемся к свойствам перпендикулярных прямых и плоскостей и докажем некоторые из них. Теорема 8 Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна второй плоскости. Дано: а I р, а П р = с, а, с: а и Oj ± с, с П Cj =А. Доказать: а^ J. р. Доказательство. Пусть плоскости аир взаимно перпендикулярны (рис. 5.34), т.е. некоторая плоскость у, перпендикулярная прямой с, пересекает их по перпендикулярным прямым аи Ь. Проведем через точку А прямую &j, bj с р, fej J. с. Тогда Oj ± с и bj ± с, отсюда плоскость, проходящая через прямые а, и 5j, будет перпендикулярна прямой с. Поскольку а ± р, то перпендикулярными будут и прямые Oj _L 6,. Кроме того, Cj 1 с (по условию), поэтому Oj 1 р. Теорема доказана. 166 ‘ I § 5.4. Перпендикулярность плоскостей Теорема 9 Если две плоскости взаимно перпендикулярны и из некоторой точки одной из них опущен перпендикуляр на вторую, то этот перпендикуляр лежит в первой плоскости. Дано: а ± р, а П р = с, А е р, В 6 а, АВ ± а. Доказать: АВ е р. Доказательство. Пусть плоскости аир взаимно перпендикулярны (рис. 5.35). Тогда некоторая плоскость у, перпендикулярная прямой с, пересекает их по перпендикулярным прямым а и 5. Итак, дано а 1 6 и 5 -L с. Т.е. 5 1 а. В плоскости р через точку А проведен отрезок АВ ± а. По следствию, две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, будут параллельными. АВ II Ъ. Таким образом, они лежат в одной плоскости — р. Если одна из двух параллельных прямых пересекает в плоскости прямую с, то и другая пересекает ее. Отсюда вытекает, что точка В должна принадлежать прямой с. Тогда она будет общей для двух плоскостей. Но если две точки А и В принадлежат р, то вся прямая принадлежит плоскости р. Теорема доказана. Остальные свойства докажите самостоятельно. Задача Из точек Р и Q, лежащих на двух взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 5.36), проведены перпендикуляры PH и QC на прямую пересечения плоскостей аир. Найдите длину отрезка PQ, если PH = 6 см, QC = 7 см, НС = 6 см. МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ. Дано: а -L р, а П р = с; PH 1 с, Я е с; QC 1с,С е с; PH = 6 см, QC = 7 см, НС = 6 см. Найти: PQ. Решение Поскольку а 1 р, PH с а, PH i с, то PH 1 р, отсюда PH 1 HQ. APHQ о, имеем PQ = 11 см. Ответ. 11 см. Почему именно так? I Для каждой геометриче-■ ской задачи важно построить цепочку логических рассуждений. В этой задаче важно видеть не только ; прямоугольные треуголь-! ники на плоскостях аир, I но и использовать признак и свойства перпендикуляр-. ных плоскостей. Таким образом можно выйти на но-I вый прямоугольный тре-! угольник PHQ или QCP, . третью сторону которого на- 1 В1-. ✓ 7 В Рис. 5.39 5.68°. Плоскости, в которых лежат параллелограмм ABCD и трапеция ADKL, перпендикулярны. ВН — высота параллелограмма. Укажите взаимное расположение (1-4) каждой пары прямых (А-Д) (рис. 5.40). A) ВН и LH; Б)АВиКВ; B) ВН и KL; Г) ВС и LK; Д) ВН и НК. 1) Скрещиваются; 2) пересекаются, но не перпендикулярны; 3) параллельны; 4) перпендикулярны. А Б В Г д 169 МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.. 5.69°°. Плоскости равносторонних треугольников АВС и ADC перпендикулярны (рис. 5.41). ВМ — медиана ААВС, ВМ = 5 см. Вычислите длину отрезка BD. А) 10 см; Б) 5 см; В)5>/2см; Г)2,5\/Зсм; Д)>/5 см. N 5.70°°. Плоскости квадратов ABCD и MNCB перпендикулярны, ВС = 5 см (рис. 5.42). Вычислите длину отрезка АА. A)5^^2 см; Б) 5>/з см; В) 5S см; Г)2%/5 см; Д)3>/5 см. 5.71°°. Плоскости прямоугольного треугольника АВС (ZC = 90°) и квадрата ACPR перпендикулярны (рис. 5.43). Сторона квадрата 6 см, гипотенуза АВ = 10 см. Найдите длину отрезка ВР. А) 6 см; Б) 10 см; В) 8 см; Г) 14 см; Д)12см. В В Рис. 5.44 5.72°°. Отрезок МК перпендикулярен плоскости прямоугольного треугольника АВС (ZC = 90°). KN Ц АС, АК = КВ, АС =12 см, МК = 8 см. Найдите длину отрезка MN (рис. 5.44). А) 20 см; Б) 16 см; В) 14 см; Г) 10 см; Д)8см. 5.73°°. Плоскости равнобедренных треугольников АВС и ADC перпендикулярны (рис. 5.45), АС — их общее основание. ВК -медиана ААВС, ВК = 8 см, DK = 15 см. Найдите длину отрезка BD. А) 8 см; В) 17 см; Д) 11,5 см. Б) 15 см; Г) 23 см; Прикладные задачи 5.74*. Даны три различные плоскости а, Р и ф. Известно, что а перпендикулярна Р, а р перпендикулярна ф. Каково взаимное расположение плоскостей а и ф? (Ответ обоснуйте.) 5.75*. Плоскости квадрата ABCD и прямоугольного равнобед-1)енного треугольника ADK (ZA = 90°) перпендикулярны. Сторона квадрата равна 2 см. Найдите длину отрезка КС. 5.76*. Точка S не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD. SB _L ВС и SB 1АВ. Докажите, что плоскость (SAB) перпендикулярна плоскости (АВСП). 5.77*. Из вершин А и С треугольника АВС проведены два отрезка: NA1AB, МС1 АС, причем NA || МС. Докажите, что плоскость (ANMC) перпендикулярна плоскости (АБС). 5.78*. Отрезок МС — перпендикуляр к плоскости треугольни-каАБС, MD LAB. Докажите, что плоскости (MCD) и (АБС) перпендикулярны. 5.79*. Перпендикулярные плоскости а и (5 пересекаются по прямой а. В плоскости а проведена прямая, перпендикулярная прямой а. Докажите, что эта прямая перпендикулярна и плоскости р. 5.80**. Докажите, что когда две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то прямая их пересечения перпендикулярна этой плоскости. 5.81**. Три плоскости попарно перпендикулярны. Докажите, что прямые их пересечения также попарно перпендикулярны. 5.82**. Отрезок длиной 25 см опирается концами на две перпендикулярные плоскости. Расстояния от концов отрезка до плоскостей равны 7 см и 15 см. Вычислите проекции отрезка на каждую из плоскостей. 5.83**. Отрезок длиной 25 см опирается концами на две перпендикулярные плоскости. Проекции отрезка на эти плоскости равны 24 см и 20 см. Вычислите длину перпендикуляров к данным плоскостям. Е 5.1. Как при помощи измерений проверить, является ли перпендикулярной полу линия, по которой соединяются две смежные стены комнаты? 5.2. Как при помощи рулетки проверить вертикальность столба? 5.3. Как проверить, перпендикулярна ли плоскость колеса оси, на которую оно насажено? 5.4. Почему сосульки, свисающие с крыши весной, можно считать параллельными между собой, пренебрегая их толщиной? 171 МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ. т 1 м Тест для самоконтроля S 7°. Отрезок КС перпендикулярен плоскости параллелограмма ABCI) (рис. 5.52). Укажите взаимное расположение плоскостей (KCD) и (ABCD). А) Параллельны; В) перпендикулярны; Б) совпадают; Г) пересекаются, но не перпендикулярны. 8°. Из точки А к плоскости а проведены перпендикуляр АО и наклонная АВ. АО = 6 см, АВ = 9 см. Найдите длину проекции наклонной АВ на плоскость а. А) б см; Б) 9 см; В) 7,5 см; Г)3\/5см; Д)5ТЗсм. 9°°. Через вершину В ромба. АВСD проведена прямая SB, перпендикулярная плоскости ромба. Выберите три правильных утверждения. А) SB 1 AD; В) SB 1 CD; Д) SB 1DB. Б) SB 1 BA; Г) SB 1CB; 10°°. Через вершину В квадрата ABCD проведен перпендикуляр ВН (рис. 5.53). Определите взаимное расположение диагонали квадрата АС и наклонной НО (О — точка пересечения диагоналей квадрата). А) Скрещиваются; В) перпендикулярны; Б) пересекаются; Г) параллельны. К С Рис. 5.53 11°°. Из точек А и С, не принадлежащих плоскости а, проведены к плоскости два перпендикуляра АВ и CD.AB = 9 см, CD = = 17 см, АС = 10 см. Найдите длину отрезка BD. А) 8 см; Б) 6 см; В) 10 см; Г) 5 см; Д)12см. 12°°. Сторона квадрата ABCZ) равна \/2 см. Через вершину В к плоскости квадрата проведен перпендикуляр SB = 1 см. Вычислите длину отрезка SA. 179 МОДУЛЬ 5 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.. А)\/2см; Б)\/Зсм; В)\/5см; Г) 1 см; Д)2см. 13°°. Найдите длину BZ)j — диагонали куба ABCDA^ByC-^D^, если ребро куба равно 2 см. А)Зч/2 см; Б) 2^2 см; В) 2n/3 см; Г)472 см; Д)47з см. 14°°. В прямоугольнике ABCD проведены оси симметрии MN и KL, пересекающиеся в точке О (рис. 5.54). Из точки О проведен перпендикуляр OS. Определите пары перпендикулярных плоскостей. 1) (MSN) и (АВС); 4) (KSL) и (MSN)-, 2) (MSN) и (АВС); 5) (АВС) и (BSD). 3) (KSL) и (АВС); А)1,2иЗ; В) 3,4 и 5; Д) 1, 2 и 5. Б)2, Зи4; Г) 1,3 и 4; 15°°. Из точки А к плоскости а проведены две наклонные АВ = 15 см и АС = 13 см. Вычислите проекцию наклонной АС, если проекция наклонной АВ равна 9 см. А) 9 см; Б) 12 см; В) 5 см; Г) 10 см; Д)6см. 16°°. Из точки А к плоскости а проведены перпендикуляр АК и две наклонные АГ= 13 см hAQ = 7 см. Найдите длину проекции наклонной AQ на плоскость а, если проекция наклонной АТ на а равна 12 см. А)2%/Зсм; Б) 4 см; B)4n/2cm; Г)3>/3 см; Д)2ч/б см. • Часть 2 Выполните задания 17—28 с короткой записью хода рассуждений. 17*. К плоскости прямоугольного треугольника АВС (ZC = 90°) через вершину С проведен перпендикуляр МС длиной 3 см. Найдите длину наклонной МА, если АВ = 6 см, а BC = 2\fb см. 18*. Через точку О пересечения диагоналей прямоугольника MNKL проведен перпендикуляр ВО к его плоскости. Найдите длину отрезка ВО, если МВ = 13 см, ML = 6 см, LK = 8 см. 19*. Сторона квадрата АВСВ равна 2 см. Из точки А к плоскости квадрата проведен перпендикуляр МА = 1 см. Найдите длину отрезка МС. 20*. Отрезок SB — перпендикуляр, проведенный к плоскости квадрата. Найдите длину отрезка SD, если АВ = 12 см, ВС = 16 см. 21*. Из точки К к плоскости а проведены перпендикуляр КО и наклонная КМ. Найдите длину наклонной, если она на 2 см 180 Тест для самоконтроля длиннее перпендикуляра, а длина проекции этой наклонной равна 10 см. 22*. Из точки М к плоскости а проведены перпендикуляр МВ и наклонная МА. Проекция наклонной длиннее перпендикуляра на 7 см. Найдите длину проекции наклонной, если наклонная МА =17 см. 23*. Плоскости равносторонних треугольников MNK и MNF перпендикулярны. Высоты этих треугольников равны 4%/2. 11айдите длину отрезка KF. 24*. Диагонали квадрата АВСП пересекаются в точке О. ОМ -перпендикуляр, проведенный к плоскости квадрата. МА = 53 см, АВ = 28\f2 см. Найдите длину отрезка МО. 25*. Из дгшной точки к плоскости а проведены две наклонные, разность длин которых составляет 6 см. Их проекции на эту же плоскость а соответственно равны 27 см и 15 см. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость а. 26*. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные длиной 4 см и 8 см. Найдите длину перпендикуляра, если их проекции относятся как 1 : 7. 27*. В правильном ААВС со стороной 8 см провели медиану АО. Через точку О построили перпендикуляр OD к плоскости треугольника длиной 4 см. Найдите длину отрезка AD. 28*. Отрезок ВК — медиана равнобедренного треугольника с основанием АС длиной 24 см и боковыми сторонами, равными 20 см. Через вершину В проведен перпендикуляр к плоскости треугольника BS, равный 8\/5 см. Найдите длину отрезка SK. • Часть 3 Выполните задания 29—32 с полным обоснованием. 29**. Из точек А и В, лежащих в перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АН и BQ на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АН = а, BQ = Ь, HQ = c. 30**. Из точек М иМ, лежащих в перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры МК и NT на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка MN, если МТ = а, NK = b,KT = c. 31**. Отрезки АС и BD — два перпендикуляра, проведенные к плоскости а. Точки А и В лежат по разные стороны плоскости а. Найдите длину отрезка АВ, если АС = 30 см, BD = 18 см и CD = = 16 см. 32**. Плоскость трапеции ABCD и плоскость треугольника АВМ пересекаются по прямой I. АВ = 8 см, ВМ = 6 см, AM = = 10 см. Определите условия, при которых прямая I будет перпендикулярной плоскости (СВМ). 181 ГШ>]Ш *p2i:^JSt^ Каждый человек со здравым смыслом не поддаст сомнению, что геометрические утверждения должны получать чисто практическое применение в окружающей среде. Г. Гельмгольц V* , • ^ у А ► Углы между прямыми в пространстве k Углы между прямой и плоскостью в пространстве ► Углы между плоскостями ► Расстояния в пространстве между точками и прямыми между точкой и прямой между точкой и плоскостью между плоскостью и параллельной ей прямой между параллельными плоскостями Ортогональное проецирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника ^ Практическое применение свойств параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей Освои! этот модуль, вы узнаете: • как определить угол между двумя прямыми пространства, лежащими в одной плоскости; » как определить угол между двумя скрещивающимися прямыми; • как определить угол между двумя прямыми пространства, не лежащими в одной плоскости; • как определить угол между прямой и плоскостью в пространстве; • как определить угол между двумя плоскостями; • как найти длину отрезка, определяющего расстояние между точкой и прямой (плоскостью); => как найти длину отрезка, определяющего расстояние между двумя прямыми (плоскостями); » как найти длину отрезка, определяющего расстояние между двумя скрещивающимися прямыми; • как применить ортогональное проецирование при реш^ • как найти площадь ортогональной проекции многоуго • как применить отношение между прямыми и плоскост пространстве, измерение расстояний и углов в npocTpaij описания объектов окружающего мира. задач; МОДУЛЬ 6 УГЛЫ и РАССТОЯНИЯ в ПРОСТРАНСТВЕ Углы в пространстве в планиметрии угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки — вершины угла (лучи — стороны угла). Такое определение понятия угла переносится и в стереометрию. Углы в пространстве рассматриваются между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Опишем и определим каждый из этих случаев. 1. Угол между двумя прямыми в пространстве Две прямые, лежащие в одной плоскости, при пересечении образуют смежные и вертикальные углы. В модуле 1 мы повторили все свойства таких углов (вертикальные углы равны, а смежные — дополняют друг друга до 180°). В пространстве (аналогично планиметрии) также сохраняются все названия и понятия об углах и их величинах. Меньший из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, называют углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°. Считают, что параллельные прямые также образуют угол, равный 0°. В стереометрии рассматривают угол между скрещивающимися прямыми. Пусть даны скрещивающиеся прямые о и 6 (рис. 6.1, б). Выберем в пространстве произвольную точку и проведем через нее две прямые, параллельные скрещивающимся (рис. 6.1, а, в), или выберем точку на одной из скрещивающихся (рис. 6.1, б) и построим только одну прямую, параллельную второй. Угол между построенными прямыми называют углом между скрещивающимися прямыми. а б Рис. 6.1 Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые пересекаются и соответственно параллельны скрещивающимся. 2) = ^(603) = Z?2 см, BBj = 12 см. Найти; углы, образованные отрезком АВ с плоскостями аир. § 6.1. Углы в пространстве Решение Aj и — проекции точек А и В на плоскости р и а соответственно. Поскольку а 1 Р, с (или AjBj) — прямая пересечения этих плоскостей, то BBj 1 а, АА, ip. Итак, AABAj и ААВВ^ — прямоугольные, у которых: AAj = 12\f2 см, BBj = 12 АВ = 24 см (по условию). Из AABBj (ZABjB= 90°): _ BBj _ 12 _ 1 см. sinZBAB АВ 24 2 ZBABj = 30 Из AABAi (ZAAjB = 90°): AAi _ I2V2 _ 72 АВ ” 24 “ 2 ’ sinZABAj = ZABAj = 45°. Ответ. 30°; 45° Почему именно так? В этой задаче важно построить проекции концов отрезка на другую, перпендикулярную ей, плоскость. При этом следует помнить, что они должны лежать на прямой пересечения данных перпендикулярных плоскостей, согласно свойствам перпендикулярных плоскостей. Далее, рассматривая прямоугольные треугольники, нужно правильно использовать определение синуса угла как отношения противолежащего катета к гипотенузе и таблицу значений: 1 J2 sin30° = —, sin45° = —. 2 2 6.1°. Известно, что прямые а и Ь, расположенные в пространстве, перпендикулярны и угол между ними равен а. Выберите правильное утверждение. А) а = 30°; Б) а = 45°; В) а = 60°; Г) а = 90°; Д)а=120°. 6.2°. Прямая а перпендикулярна плоскости со и пересекает ее в точке О (рис. 6.6). Прямая Ь проходит через точку О и принадлежит со. Укажите величину угла между прямыми а и 6. А) 60°; В) 120°; Д) 30°. Б) 90°; Г) 45°; 6.3°. Из точки В к плоскости \\1 проведены перпендикуляр ВА и наклонная ВС, угол между которыми 45°. Определите длину перпендикуляра, если длина проекции 6 см. А) 2 см; Б) 3 см; В) 4 см; Г) 6 см; Д)9см. Рис. 6.6 187 МОДУЛЬ 6 УГЛЫ и РАССТОЯНИЯ в ПРОСТРАНСТВЕ 6.4°. Даны прямые а и Ь, угол между которыми а. Определите для каждого возможного взаимного расположения этих прямых (А-Г) величину угла а (1-4). 1) 0° /з см. Вычислите угол между плоскостями (АВС) и а, если длина высоты ДАВС равна 4\fs см. 6.34″. Из вершины В квадрата АВСD к плоскости а проведен перпендикуляр ВО длиной Зл/З см. Вычислите угол между плоскостями квадрата ABCD и а, если сторона квадрата AD = б см и принадлежит плоскости а. 6.35″. Один из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника длиной 6 см лежит в плоскости а, а другой — наклонен к ней под углом 45°. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью а. 6.36″. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС катет АС лежит в плоскости а, а катет ВС образует с этой плоскостью угол 45°. Найдите длину перпендикуляра ВН, проведенного к плоскости а, и угол наклона гипотенузы к плоскости а, если гипотенуза равна 30 см. 6.37″. Две плоскости пересекаются под углом 60°. Концы отрезка АВ, который равен 25 см, лежат в этих плоскостях. К линии пересечения плоскостей построены перпендикуляры АС = 5 см и BD = 8 см. Найдите длину отрезка CD. 6.38″. Две плоскости пересекаются под углом 30°. Концы отрезка АВ, который равен 5 см, лежат в этих плоскостях. К линии пересечения плоскостей построены перпендикуляры АС и BD. Найдите длину отрезка BD, если АС = 4\/з см, CD = 3 см. 6.39″. Через сторону равностороннего треугольника проведена плоскость а так, что проекции двух других сторон треугольника на эту плоскость взаимно перпендикулярны. Докажите, что эти стороны образуют с плоскостью а углы 45°. 6.40″. Из точки В под углом 45° к плоскости а проведены наклонная ВА и прямая АС (АС с а), образующая угол 45° с проекцией наклонной АВ на плоскость а. Определите длину отрезка ВС и его угол наклона к плоскости а, если АВ = АС = а. 192 § 6.2. Расстояния в пространстве Расстояния в пространстве Одним из ключевых понятий геометрии является длина отрезка. Через него вводится много других понятий, связанных с понятием расстояния. Как известно, расстоянием между двумя точками А и В называется длина отрезка АВ (рис. 6.14). Расстояние от точки А до прямой I равно длине перпендикуляра АО, проведенного из этой точки на данную прямую (рис. 6.15). Поскольку все другие отрезки АХ с концами в точке А и произвольной точке X прямой, отличной от О, — наклонные, то их длина больше длины перпендикуляра. Поэтому говорят, что расстояние от точки до прямой — это длина наименьшего из всех возможных отрезков, проведенных из этой точки к прямой. Такой отрезок является перпендикуляром к прямой. Опираясь на такие рассуждения, определим понятие расстояния между некоторыми другими фигурами в пространстве. А •В Рис. 6.14 Рис. 6.15 Рис. 6.16 Рассмотрим плоскость а и точку А, не принадлежащую ей (рис. 6.16). Понятно, что за расстояние от точки А до плоскости а следует выбрать длину перпендикуляра АО, проведенного из этой точки к плоскости, поскольку все другие отрезки АХ, где X — произвольная точка плоскости, отличная от О, будут наклонными и поэтому их длина больше чем АО. Итак, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости. Если точка принадлежит плоскости, то в этом случае расстояние от нее до плоскости равно нулю. Расстояние от точки А до отрезка ВС (рис. 6.17) определяется по такому алгоритму: 1) проводим перпендикуляр АО из точки А к прямой ВС; 2) если основание О этого перпендикуляра принадлежит данному отрезку ВС, то искомое расстояние равно В О Рис. 6.17 l3-GeorTY6tri^. ЮМ(Bilianina).rus 193 Рис. 6.18 УГЛЫ И РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ длине отрезка АО (рис. 6.17, о); в другом случае оно равно длине отрезка АВ или АС (в зависимости от того, какая из точек — В или С — лежит ближе к точке О) (рис. 6.17, б). Аналогично определяется расстояние от точки до луча. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра этих прямых (рис. 6.18). Это вытекает из того, что все такие перпендикуляры AqAj равны между собой, а каждый отрезок с концами X и У на данных прямых, не являющийся их общим перпендикуляром, имеет длину, большую чем длина общего перпендикуляра A^Aj. Ц Теорема 2 (орасстоянии между параллельными прямой и плоскостью) Расстояние между параллельными прямой и плоскостью равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к плоскости. Данная теорема доказывается рассуждениями, аналогичными приведенным выше, о расстоянии между параллельными прямыми. Теорема 3 (орасстоянии между параллельными плоскостями) Расстояние между параллельными плоскостями равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй. Доказательство. Пусть имеем две параллельные плоскости аир (рис. 6.19). Поскольку прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и второй, то перпендикуляр ААр проведенный из произвольной точки А одной из этих плоскостей ко второй, будет перпендикуляром и к первой, т.е. их общим перпендикуляром. Поскольку любые два попарно взятых общих перпендикуляра AAj, BBj и CCj параллельных плоскостей аир параллельны, то они равны между собой как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями. Для полного доказательства теоремы остается показать, что любой отрезок СХ с концами в данных плоскостях а и р, не являющийся их общим перпендикуляром. 194 § 6.2. Расстояния в пространстве больше общего перпендикуляра СС,. А это вытекает из того, что перпендикуляр СС, к плоскости р меньше наклонной СХ к этой плоскости. Теорема доказана. Понятие расстояния между точками широко применяется в разнообразных сферах жизни человека — от науки до быта и досуга. Используется оно в тех случаях, когда размерами реальных объектов, расстояние между которыми вычисляется, в данных условиях можно пренебречь. Так мы говорим о расстоянии между звездами, планетами, передатчиками и принима-. телями информации, населенными пунктами, ядрами атома и электронами на его орбите и т.п. Расстояние между скрещивающимися прямыми Сначала рассмотрим определение перпендикуляра, проведенного к двум скрещивающимся прямым, и докажем его существование и единственность. Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из них. Теорема 4 Две скрещивающиеся прямые имеют общий пер- -пендикуляр, и притом только один. Он является об- * щим перпендикуляром к параллельным плоскостям, проходящим через эти прямые. > Доказательство. Действительно, пусть акЬ- данные скрещивающиеся прямые (рис. 6.20). Проведем прямые а, и Ь,, соответственно параллельные а и Ь, так, что прямая а, пересекается с прямой Ь, а прямая Ь, — с а. Через прямые а и Ь, и 6 и а,, которые попарно пересекаются, проводим плоскости аир. Плоскости аир- параллельные. Произвольные прямые JC,, Xg, Xg, Х4, Xg, которые пересекают прямую а и перпендикулярны плоскости а, лежат в одной плоскости. Назовем ее у. 195 МОДУЛЬ 6 УГЛЫ и РАССТОЯНИЯ в ПРОСТРАНСТВЕ Эта плоскость пересекает плоскость |3 по прямой Og, параллельной а. Пусть точка В — точка пересечения прямых Cg, Ь и некой прямой х, а точка А — точка пересечения той же прямой хиа. Тогда прямая АВ, перпендикулярная плоскости а, перпендикулярна и плоскости р, поскольку р Ц а. Отсюда вытекает, что AS 1 а и АВ .L Ь. Отрезок АВ — общий перпендикуляр к плоскостям а и р, а следовательно, и к прямым а тл Ь. Докажем, что он единственный. Пусть прямые а и б имеют другой общий перпендикуляр CD. Проведем через точку С прямую bg» параллельную Ь. Прямая CD перпендикулярна прямой Ь, а следовательно, и bg- Поскольку она перпендикулярна прямым а и bg, которые проходят через точку С, то она перпендикулярна плоскости а. Тогда CD параллельна прямой АВ. Имеем, что через прямые АВ и CD, как через параллельные прямые, можно провести плоскость и она будет содержать скрещивающиеся прямые АС и BD. А это невозможно. Получили противоречие. Теорема доказана. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Задача 1 Отрезок РА перпендикулярен плоскости треугольника АВС, стороны АВ, ВС и АС которого соответственно равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от точки Р до стороны ВС, если РА = 16 см. Решение Пусть AN — высота данного остроугольного треугольника АВС (рис. 6.21). Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, PN 1 ВС и длина PN будет расстоянием от точки Р до стороны ВС. Определим ее из прямоугольного треугольника PAN (поскольку РА 1 (АВС), то Z.PAN = 90°). Для этого предварительно найдем АЛ/. Из формулы для площади треугольника AN 2S ‘ААВС ВС Необходимую площадь определим по формуле Герона: ^hABC = n/21-8-7-6 = 84(см2). Тогда АЛ/ = 12 см и PN = \JPA^ + AN^ = 20 (см). Ответ. 20 см. 196 § 6.2. Расстояния в пространстве Задача 2 Прямая ОК перпендикулярна плоскости ромба, диагонали которого пересекаются » точке О. Докажите, что расстояния от точки К до всех сторон ромба равны между собой. Доказательство Пусть ABCD — ромб и О — точка пересечения его диагоналей (рис. 6.22). Тогда О — центр вписанной в ромб окружности. Пусть М, N, Р, F — точки касания сторон к окружности. Тогда ОМ = ON = OF = OP — г. Поскольку OP 1 DC, ОМ 1 AS, OF ± AD, ON J BC, to no теореме о трех перпендикулярах КМ 1 АВ, KN 1 ВС, КР 1 DC, KF 1 AD. Итак, КМ, KN, КР, KF — расстояния от точки К до сторон ромба. Из равенства треугольников КОР, KOF, КОМ, KON вытекает, что КМ = KF = KN = КР. Ч.т.д. Задача 3 Точка М не лежит в плоскости прямоугольного треугольника АВС (ZB = 90°) и находится на расстояниях МК и MD от прямых, содержащих катеты ВА и ВС (рис. 6.23). МО — перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Докажите, что четырехугольник BKOD -прямоугольник. Доказательство Поскольку отрезки МК и MD — расстояния от точки М соответственно до прямых АВ и ВС, то МК LAB и MD _L ВС. По условию МО 1 (АВС), поэтому ОК и OD — проекции наклонных МК и MD на плоскость (АВС) и ОК 1 АВ, OD 1 ВС (по теореме о трех перпендикулярах). Однако АВ 1 ВС по условию, поэтому BKOD — прямоугольник. Ч.т.д. Упражнения 6.41°. Точка К не принадлежит плоскости со, а точки А, В, С, D, М лежат на плоскости со (рис. 6.24). Укажите отрезок, который является расстоянием между точками К и С. А)КА; Б) КС; В) КВ; Г) АС; Д) СВ. 197 МОДУЛЬ 6 УГЛЫ и РАССТОЯНИЯ в ПРОСТРАНСТВЕ м к. Рис. 6.24 Рис. 6.25 6.42°. Из точки М к плоскости со проведен перпендикуляр МО (рис. 6.25). Точка М г о), а точки Т, Р, Q, F принадлежат плоскости со. Выберите отрезок, выражающий расстояние от точки М до плоскости (О. А)МТ; B)MF; В) МО; Г)МР; Д)МО. 6.43°. МВ — перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD (рис. 6.26). О — центр квадрата, N — середина стороны CD. Укажите отрезок, выражающий расстояние от точки М до плоскости (ABCD). А) МО; Б)МА; В) МО; Г) МВ; Д)МА. 6.44°. МВ — перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD (рис. 6.26). О — центр квадрата, N — середина стороны CD. Укажите отрезок, выражающий расстояние от точки М до стороны квадрата CD. А) МО; Б)МС; В) МО; Г) МВ; ЩММ. 1 Рис. 6.26 Рис. 6.27 6.45°. Отрезок SO — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD (рис. 6.27). Укажите отрезок, выражающий расстояние от точки S до диагонали ВО. А) SB; Б) АО; В) SO; Г) СО; Д)50. 6.46°. Плоскости аир параллельны (рис. 6.28). Точки А, В, С принадлежат плоскости а, а точки К,Ь,М- плоскости р. AL _L р, СМ IIAL, ВК AL. Укажите отрезки, выражающие расстояние между плоскостями аир. 198 § 6.2. Расстояния в пространстве DAK-, А) 1 и 3; 2)AL; Б) 2 и 4; 3)ВК; В)3и5; 4) СМ; Г) 1 и 4; К Ъ)СЬ. Д)2иЗ. т к м\ р/ Рис. 6.28 Рис. 6.29 6.47°. Точки А, В, С принадлежат плоскости а, а точки К, L, М — плоскости р. а || р, ВК 1 Р, AL = 4 см, СМ = 6 см, ВК = 3 см, ВМ = 5 см, АК = 7 см. Укажите расстояние между плоскостями аир. А) 3 см; Б) 4 см; В) 5 см; Г) 6 см; Д) 7 см. 6.48°. Точка К не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD (рис. 6.29) и отдалена от каждой из его вершин на 10 см. Стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см. Укажите два отрезка, длина которых равна 10 см. А) КО; Б)ВВ; В) ВК; Г) АС; ЮКО. 6.49°. Плоскости, в которых лежат параллелограмм ABCD и трапеция АВКМ, перпендикулярны (рис. 6.30). АВ — линия пересечения плоскостей. DR — высота параллелограмма. Укажите отрезок, который является расстоянием между прямой CD и плоскостью АВЛГМ. A)AD; Б) DM; DDR; Д)ВК. Рис. 6.30 Рис. 6.31 6.50°. Дан квадрат ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О (рис. 6.31). Прямая МС перпендикулярна плоскости квадрата. Подберите для каждой пары скрещивающихся прямых отрезок, выражающий расстояние между ними. 1)МО; A) АВиМС; 2) СО; B) ADuMC; 3)ВС; В) BD и МС. 4) МА; 5) СП. А Б В 199 МОДУЛЬ 6 УГЛЫ и РАССТОЯНИЯ в ПРОСТРАНСТВЕ С 7 1 1 1 1 1 1 1 1 Bj, .’Г.-‘-‘-‘-о-С 6.5Г°. в кубе ABCDAiBiCjI), (рис. 6.32) О и Oj — точки пересечения соответствующих диагоналей граней ABCD и AjBjCjBj. Идентифицируйте каждой паре скрещивающихся прямых расстояние между ними. Рис. 6.32 2)CiOi; г) ВС; 4) CD; 6) ОС. А Б В Г Д Е A) AD и CCj; Б) А,В, и СС,; B) BDuCCy, Г) AjBj и ССр Д) АВ и ССр Е) BjBj и CCj. 6.52°°. В прямоугольном ААВС (ZC = 90°) проведены MN || АС (М е АВ, N е ВС). Точка К е (АВС) и КМ — перпендикуляр к плоскости (АВС). Укажите отрезок, являющийся расстоянием от точки К до прямой ВС (рис. 6.33). А) КМ; Б) КС; Б)КМ; Т) КВ; Д)МЛГ. 6.53°°. Отрезок КМ — перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, проведенный через точку М — середину гипотенузы АВ (рис. 6.33). Найдите расстояние от точки К до стороны ВС, если АС = 24 см, КМ = 12 см. А)6ч/5 см; Б)4>/13 см; B)4^/^0 см; Г)12^2 см; Д)24^/2 см. D К .В Рис. 6.34 6.54°°. Сторона параллелограмма АВ принадлежит плоскости (0, DF — высота параллелограмма, СМ — перпендикуляр к плоскости со (рис. 6.34). Укажите отрезок, выражающий расстояние от прямой CD до плоскости (О. A)DA; B)DF; В) CM; Г) ВМ; Д)ВС. 6.55°°. На рисунке 6.35 изображена окружность с центром О, вписанная в ДАВС, М, N, К — точки касания, S — не принадлежит плоскости (АВС). Укажите тройку отрезков, которые являются расстоянием от точки S до сторон ААВС. 200 § 6.2. Расстояния в пространстве А) SA, SB, SC; Б) SM, SN, SK; В) МО, NO, КО; Д) ВК, КО, ОС. Г) SO, SA, SM; LO »

К В Рис. 6.35 Рис. 6.36 6.56°°. Через вершину С прямоугольного NABC проведена плоскость у (рис. 6.36). Гипотенуза АВ параллельна плоскости у, АК 1у иВ£) 1у, СМ LAB. Укажите отрезки, которые выражают расстояние от гипотенузы АВ до плоскости у. 1)МС; 2)АК; 2) ВС; 4)ВВ; 5) АС. А)1и2; Б)2иЗ; В)3и4; . Г) 5 и 4; Д)2и4. 6.57°°. Дан разносторонний треугольник АВС. Точка М i (АВС), О — основание перпендикуляра, проведенного из точки М к плоскости (АВС). МА = МВ = МС = 5 см. Укажите три правильных утверждения. A) Точка М равноудалена от сторон ААВС; Б) точка О равноудалена от вершин t^ABC; B) точка М равноудалена от вершин ААВС; Г) точка О равноудалена от сторон ААВС; Д) О — центр вписанной окружности в ААВС; Е) О — центр описанной окружности вокруг ААВС. 6.58°°. В ромбе АВСВ проведены высоты MN и KL, пересекающиеся в точке О (рис. 6.37). О — точка пересечения диагоналей ромба, F — точка, не принадлежащая плоскости (АВСВ), FO -перпендикуляр к плоскости (АВСВ). Укажите три правильных утверждения. A) Точка F равноудалена от сторон ромба; Б) точка О равноудалена от вершин ромба; B) О — центр описанной окружности вокруг ромба; Г) О — центр вписанной окружности в ромб; Д) точка F равноудалена от вершин ромба; Е) точка О равноудалена от сторон ромба. 201 МОДУЛЬ 6 УГЛЫ и РАССТОЯНИЯ в ПРОСТРАНСТВЕ А 6.59°°. Концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость а, отдалены от нее на а см и 6 см (рис. 6.38). Точка С — середина отрезка АВ — отдалена от плоскости а на л: см. Идентифицируйте каждому условию (А-Д) правильный ответ (1-5). А)а = 5см, & = 7см; 1)д: = 7см; 2) х = 8 см; 3) X = 5 см; 4) х = 6 см; 5) х = 4 см. А Б В Г Д Б) о = 3 см, Ь = 5 см; В)а = 6 см, Ь = 8 см; Г) а = 7 см, Ь = 9 см; Д) а = 4 см, Ь = 6 см. 6.60°°. Катеты прямоугольного треугольника равны 10 см и 18 см. Через середину гипотенузы — точку О — проведен перпендикуляр ОМ к плоскости треугольника. Определите расстояние от точки М до каждого катета, если ОМ = 12 см. А) 13 см и 15 см; В) 12 см и 15 см; Д) 9 см и 12 см. Б) 12 см и 13 см; Г) 5 см и 12 см; 6.61*. Отрезок КМ не пересекает плоскость а. Точка К отдалена от нее на 1,8 см, а точка F — середина отрезка КМ — на 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости а. 6.62*. Через вершину В квадрата АВСВ со стороной 8 см проведен перпендикуляр SB к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки S до диагоналей квадрата, если SB = 7 см. 6.63*. Расстояние от точки М до сторон квадрата равно 13 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна 10 см. 6.64*. Дан равнобедренный прямоугольный ЛАВС (ZC = 90°). Через вершину С проведен перпендикуляр СК к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки К до гипотенузы АВ, если АВ = 36 см, СК = 24 см. 6.65*. Расстояние от точки М до всех вершин квадрата равно 5 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна 5 см. 202 § 6.2. Расстояния в пространстве 6.66*. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. 1$не плоскости треугольника находится точка S, отдаленная от 1саждой вершины треугольника на 10 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника. 6.67*. Точка отдалена от всех вершин прямоугольного треугольника на 6,5 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника, если его катеты равны 3 см и 4 см. 6.68*. Точка О — центр квадрата со стороной 4 см. АО — прямая, перпендикулярная плоскости квадрата; отрезок АО = 2\/2 см. Найдите расстояние от точки А до вершин квадрата. 6.69*. Стороны треугольника АВС равны 10 см, 17 см и 21 см. Из вершины большего угла треугольника к его плоскости проведен перпендикуляр АО, равный 15 см. Найдите расстояние от точки О до стороны ВС треугольника. 6.70*. Стороны треугольника АВС равны 11 см, 13 см и 20 см. Через вершину наименьшего угла к плоскости треугольника проведен перпендикуляр ВМ. Найдите расстояние от точки М до плоскости треугольника, если расстояние от точки М до наименьшей стороны треугольника равно 15 см. 6.71**. Две плоскости взаимно перпендикулярны. Точка А отдалена от них на 20 см и 21 см. Найдите расстояние от точки А до линии пересечения этих плоскостей. 6.72**. Две плоскости аир взаимно перпендикулярны. Точка М отдалена от плоскости а на 12 см, а от прямой пересечения плоскостей — на 37 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости р. 6.73**. Точка М находится вне плоскости квадрата ABCD на одинаковом расстоянии от всех вершин. Определите взаимное расположение плоскостей (АМС) и (BDM). 6.74**. Из точки О пересечения диагоналей прямоугольника к плоскости этого прямоугольника проведен перпендикуляр. Докажите, что произвольная точка этого перпендикуляра равноудалена от вершин прямоугольника. 6.75**. Докажите, что расстояние от середины отрезка до плоскости, которая его не пересекает, равно полусумме расстояний от концов отрезка до этой плоскости. 6.76**. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Вне плоскости треугольника дана точка, которая находится на расстоянии 10 см от каждой из его вершин. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника. 6.77**. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Точка М находится вне плоскости ромба и отдалена от всех сторон ромба на 8 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ромба. 203 МОДУЛЬ 6 УГЛЫ и РАССТОЯНИЯ в ПРОСТРАНСТВЕ 6.78**. Равнобокая трапеция, периметр которой равен 48 см, а острый угол — 60°, лежит в плоскости а. Точка, равноудаленная от всех сторон трапеции, находится на расстоянии 3 см от плоскости а. Найдите расстояние от этой точки до сторон трапеции. 6.79**. Дан треугольник со сторонами 26 см, 28 см и 30 см. Точка М отдалена от всех сторон треугольника на 17 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости треугольника. 6.80**. Периметр правильного треугольника равен ЗбТз см, а расстояние от некоторой точки до каждой из сторон треугольника — 10 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника. 6.81**. Площадь равностороннего треугольника равна 27\/з см^. Найдите расстояние между плоскостью треугольника и точкой, которая отдалена от каждой из его вершин на 10 см. 6.82**. Из точки к плоскости правильного треугольника со стороной 8\/з см проведен перпендикуляр длиной 5 см. Основанием перпендикуляра является одна из вершин треугольника. Найдите расстояние от точки до стороны треугольника, которая не содержит основания перпендикуляра. 6.83**. Из точки к плоскости прямоугольника со сторонами 9 см и 12 см проведен перпендикуляр, основанием которого является одна из вершин прямоугольника. Расстояние от противолежащей вершины прямоугольника до этой точки равно 39 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости прямоугольника. 6.84**. Даны две скрещивающиеся прямые а и Ь. Прямая а лежит в плоскости а, а прямая Ы а. Точка К е Ь и отдалена от прямой а на 13 см. Найдите расстояние от точки К до плоскости а, если расстояние между avib равно 5 см. 6.85**. Даны две скрещивающиеся прямые тип. Прямая п лежит в плоскости а, а прямая /п J. а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, если точка А (А е т) отдалена от плоскости а на 6 см, а от прямой л — на 10 см. Ортогональное проецирование Параллельное проецирование, направление которого пер- i пендикулярно плоскости проекции, называется ортогональным проецированием. Проекция фигуры, образующаяся при ортогональном проецировании, называется ортогональной проекцией, или просто проекцией этой фигуры. Поскольку ортогональное проецирование является особым видом параллельного проецирования, то для него выполняются все свойства последнего. Ортогональной проекцией прямой а, не 204 § 6.3. Ортогональное проецирование J J □ Рис. 6.40 перпендикулярной плоскости проекции, является некоторая прямая а’ (рис. 6.39), а прямой а, параллельной плоскости проекции а, — прямая а’, параллельная прямой а (рис. 6.40). Отметим, что прямые, перпендикулярные одной из параллельных плоскостей, перпендикулярны и остальным, поэтому ортогональное проецирование на одну из таких плоскостей будет ортогональным и на остальные плоскости. Очевидно, что ортогональные проекции фи1’уры на параллельные плоскости равны между собой. Ортогональное проецирование также имеет только ему присущие свойства. Одно из них выражает теорема о площади ортогональной проекции многоугольника. Площадь ортогональной проекции Теоре.ма 5 Площадь ортогональной проекции произвольного многоугольника на плоскость равна произведению площади самого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Доказательство. Как пример многоугольника возьмем ААВС (рис. 6.41). Проекцией ААВС на плоскость а является AABjC. Проведем высоту ВК треугольника АВС. По теореме о трех перпендикулярах В^К — высота AABjC. Угол ВКВ^ — угол между плоскостью ААВС и плоскостью проекции. Пусть ZBKB^ = ф. Тогда ‘^ДАВС

ЛУЧШИЕ СЕМЕЙНЫЕ ИГРЫ — представляем претендентов настольной премии Geek Media Awards

2^^ В^К. Учитывая, что АКВВ^ прямоугольный (ZBj = 90°), имеем: В^К = ВК ■ созф. Рис. 6.41 Поэтому «^AABjC

ЧЕТЫРЕ ХВОСТА: УЛЁТНЫЕ КОКОСЫ И ШЛЯПЫ — играем в настольную игру с дополнением!

СОВф — Итак, = ‘^дАВС ■ совф. Теорема доказана. СОЗф. 205 МОДУЛЬ 6 УГЛЫ и РАССТОЯНИЯ в ПРОСТРАНСТВЕ Чтобы доказать теорему для произвольного многоугольника, его разбивают на треугольники. Тогда для каждого треугольника и его проекции можно записать равенство ^проекции М

■ С08ф, где j = 1, . /е, поскольку угол между плоскостями этих треугольников и плоскостью их проекций будет один и тот же. Все эти равенства сложим почленно; С -f»iS “b+S _ С • проекции А1 проекции А2 ‘ проекции Ак ^проекции многоугольника’ ^А1 ^А2 ^Ак

ПРОЙДИ ГИГАНТСКУЮ ИГРУ, ЧТОБЫ ВЫЖИТЬ !

^многоугольника’ Получим в левой части равенства площадь проекции многоугольника, а в правой — площадь самого многоугольника, умноженную на косинус угла между их плоскостями. Отсюда ^проекции многоугольника

Настольная игра «Собери 4» (Connect 4), Hasbro

^многоугольника ‘ ^-ОЗф. Т.е. И ДЛЯ ЭТОГО случая теорема истинна. Задача Ортогональной проекцией треугольника является треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Плоскость треугольника образует с плоскостью проекции угол 60°. Вычислите площадь данного треугольника. Решение Воспользуемся рисунком 6.41. Известно, что площадь проекции треугольника вычисляют по формуле: ^проекции треугольника

Играем в настольную игру «Нидавеллир». Партия на 4-х

^треугольника где ф — угол между плоскостью треугольника и плоскостью проекции. По формуле Герона найдем площадь AABjC: = yjр<р - а)(р - Ь)(р - с), где р - полупериметр треугольника, а,Ь,с- его стороны. = >/21(21 -13)(21 -14)(21 -15) = >/21-8-7-6 = = 84 (см^). Тогда = СОЗф — = 84 ; i = 168 (см2). соз60° 2 Ответ: 168 см2. 206 § 6.3. Ортогональное проецирование .Упражнения 6.86°. Ортогональное проецирование на плоскость со задается прямой проецирования, образующей с плоскостью угол а. Укажите величину угла а. А)0°; Б) 30°; В) 45°; Г) 60°; Д)90°. 6.87°. Угол АВС — линейный, измеряющий двугранный угол с ребром а. Укажите взаимное расположение прямой а и плоскости (АВС). A) Прямая не пересекает плоскость; Б) прямая пересекает плоскость под острым углом; B) прямая пересекает плоскость под прямым углом. 6.88°. Даны две параллельные плоскости аир. Отрезки АВ и CD принадлежат плоскости а, АВ || CD. Отрезки AjBj и CjDj -их ортогональные проекции на плоскость р (рис. 6.42). Укажите взаимное расположение отрезков AjBj и CjOj. A)AiBi nCiDj; B)AiBilC,Di; B)AiBi A C,D,. 6.89°. AjBj — ортогональная проекция отрезка АВ на плоскость а. АВ = 20 см, АС = 10 см, AjBj = 12 см. Найдите длину отрезка BjCj (рис. 6.43). А) 9 см; Б) 6 см; В) 4 см; Г) 10 см; Д)8см. 6.90°. Выберите две фигуры, которые могут быть ортогональной проекцией трапеции. А) Квадрат; В) прямоугольник; Д) трапеция. Б) отрезок; Г) параллелограмм; 6.91°. Ортогональной проекцией отрезка АВ длиной 5 см на плоскость со является отрезок АС длиной 3 см. Найдите косинус угла наклона а отрезка АВ к плоскости со (рис. 6.44). 207 МОДУЛЬ 6 УГЛЫ и РАССТОЯНИЯ в ПРОСТРАНСТВЕ Рис. 6.44 А) cosa = —; 5 Б) cosa = 1; В) cosa = —; 5 Г) cosa = —; 4 4 Д)cosa = —. 6.92° Найдите угол между плоскостями (АВС) и (ABD), если расстояние от точки С до прямой АВ вдвое больше, чем расстояние от точки С до плоскости (ABD) (рис. 6.45). А) 90°; Б) 60°; В) 30°; Г) 45°; Д) 75°. Рис. 6.46 6.93°. Через сторону АВ треугольника АВС проведена плоскость со (рис. 6.46). Точка Cj е со, CCj J_ со. Укажите ортогональную проекцию ААВС на плоскость со. А) ACCjA; Б) АСС^В; В) АС^КВ; Г) ААС^К; Д) ААС^В. 6.94°. Даны две плоскости аир, пересекающиеся под углом 30°. Точка А принадлежит плоскости а и отдалена от плоскости р на 12 см. Найдите расстояние от точки А до прямой пересечения этих плоскостей. А) 12 см; В) 6 см; В) 24 см; Г) 18 см; Д)30см. . 6.95°°. Дан куб AjBCDAjjBjCjDj (рис. 6.47). Укажите ортогональную проекцию AC^BD на каждую из плоскостей, заданных условиями (А-Д). A)

Четыре в ряд. Обзор настольной игры от Игроведа.